抵抗率と導電率の関係

抵抗率と導電率の関係

抵抗率 \(ρ\)（ロー）と導電率 \(σ\)（シグマ）は逆数の関係になります。

\(ρ=\cfrac{1}{σ}\quad\rm[Ω・m]\)　

\(σ=\cfrac{1}{ρ}\quad\rm[S/m]\)　

導体の抵抗率は、温度が高くなるほど大きくなる性質があり、金属導体の場合-20°～+200°C　では 1°C上昇するごとに次のように増加します。

\(α_0=\cfrac{1}{273.2}\fallingdotseq0.004/℃\)

温度 t°Cにおける抵抗値は　\(R_{20}\)　を 20°C の抵抗値とすると次のようになります。

\(R_t=R_{20}\{1+α_0(t-20)\}\quad\rm[Ω]\)

この性質を利用して温度計測をすることが出来ます。

白金やニッケルが使われますが、これらの抵抗体のことを測温抵抗体と呼んでいます。

練習問題

問題1

直径 2mm の円形の銅線が 1km あります。

抵抗率　\(ρ=1.72×10^{-8}Ω・ｍ\)　のとき、この銅線の抵抗を求めよ。

＜解　答＞

この銅線の抵抗は

\(R=ρ\cfrac{L}{S}\)
\(=1.72×10^{-8}\cfrac{1.0×10^3}{π×(1×10^{-3})^2}\)\(
=5.47\quad\rm[Ω]\)　になります。

問題2

直径２mm の円形の銅線が１km あります。20℃における抵抗を求めよ。

ただし、銅の20℃における抵抗率は　\(ρ=1.72×10^{-8}\quad\rm[Ω・m]\)　とする。

＜解　答＞

\(R=\cfrac{E}{I}=ρ\cfrac{l}{S}\quad\rm[Ω]\)　より

\(R=1.72×10^{-8}\cfrac{1.0×10^3}{π×(1×10^{-3})^2}\)\(
≒5.47\quad\rm[Ω]\)

問題3

20℃における抵抗率が　\(1.62×10^{-8}\hspace{8px}\rm [Ω・m]\)　である銀の100℃における抵抗を求めよ。

ただし、銀線の断面の直径は 2mm であって、長さは 10m、平均温度係数　\(α_0=4.1×10^{-3}/℃\)　とする。

＜解　答＞

抵抗　\(R\)　は、次の式から

\(R=\cfrac{E}{I}=ρ\cfrac{l}{S}\quad\rm[Ω]\)　

\(R_{20}\)\(=1.62×10^{-8}×\cfrac{10}{π(1×10^{-3})^2}\)
\(≒0.0516\quad\rm[Ω]\)　になります。

銀の100℃における抵抗は

\(R_{100}=R_{20}\{1+α_0(100-20)\}\)
\(≒0.0685\quad\rm[Ω]\)　になります。

問題4

白金線の抵抗が室温 20℃ で 0.200Ω であった。

温度計として使用したら、その抵抗は 0.239Ω となった。このときの温度を求めよ。

白金の温度係数は 0.0039 とします。

＜解　答＞

\(T\)℃における抵抗　\(R\)　の値は、次の式から求められます。

\(R_T=R_{20}\{1+α_0(T-20)\}\quad\rm[Ω]\)

式を変形すると、\(T\)　は

\(T=\cfrac{R_T-R_{20}}{α_0R_{20}}+20\)
\(=\cfrac{0.239-0.200}{0.0039×0.200}+20=70℃\)

になります。