電気を「よく通す」と考えられる導体でも、小さな抵抗があります。
電流の「通しにくさ」を表すものが、「抵抗率」といわれるものです。
抵抗の大きさを表すのに電気抵抗を使い、その単位はオーム [Ω]です。
また、導電率というものがありますが、これは電気の「流れやすさ」を表すものです。
ここでは、抵抗率と導電率について、説明します。
抵抗率とは
次の図は、抵抗の記号と抵抗の例です。
■ 導体の抵抗の求め方
\(R\) [Ω]、長さ \(L\) [m]、半径 \(r\) [m] の導体があります。
この導体の断面積は \(S=πr^2\) [m^2] 、抵抗率 \(ρ\) [Ω・m] とすると
この導体の抵抗は、次のようになります。
\(R=ρ\cfrac{L}{S}\) [Ω]
\(ρ=R\cfrac{S}{L}\) [Ω・m]
抵抗値
「導体の抵抗値は長さに比例し、断面積に反比例する」ということになります。
抵抗率と導電率の関係
抵抗率 \(ρ\)（ロー）と導電率 \(σ\)（シグマ）は逆数の関係になります。
\(ρ=\cfrac{1}{σ}\) [Ω・m]
\(σ=\cfrac{1}{ρ}\) [S/m]
導体の抵抗率は、温度が高くなるほど大きくなる性質があり、金属導体の場合－20°～＋200°C では 1°C上昇するごとに次のように増加します。
\(α_0=\cfrac{1}{273.2}\fallingdotseq0.004 /℃\)
温度 t°Cにおける抵抗値は \(R_{20}\) を 20°C の抵抗値とすると次のようになります。
\(R_t=R_{20}\{1+α_0(t-20)\}\) [Ω]
この性質を利用して温度計測をすることが出来ます。
白金やニッケルが使われますが、これらの抵抗体のことを測温抵抗体と呼んでいます。
練習問題
問題1
直径 2mm の円形の銅線が 1km あります。
抵抗率 \(ρ=1.72×10^{-8}\) [Ω・ｍ] のとき、この銅線の抵抗を求めよ。
＜解答例＞
この銅線の抵抗は
\(R=ρ\cfrac{L}{S}\)
\(=1.72×10^{-8}\cfrac{1.0×10^3}{π×(1×10^{-3})^2}\)
\(R=5.47\quad\rm[Ω]\) になります。
問題2
直径２mm の円形の銅線が１km あります。20℃における抵抗を求めよ。
ただし、銅の20℃における抵抗率は \(ρ=1.72×10^{-8}\) [Ω・m] とする。
＜解 答＞
\(R=\cfrac{E}{I}=ρ\cfrac{l}{S}\) [Ω] より
\(R=1.72×10^{-8}\cfrac{1.0×10^3}{π×(1×10^{-3})^2}\)
\(R≒5.47\) [Ω]
問題3
20℃における抵抗率が \(1.62×10^{-8}\) [Ω・m] である銀の 100℃における抵抗を求めよ。
ただし、銀線の断面の直径は 2mm であって、長さは 10m、平均温度係数 \(α_0=4.1×10^{-3} /℃\) とする。
＜解答例＞
抵抗 \(R\) は、次の式から
\(R=\cfrac{E}{I}=ρ\cfrac{l}{S}\) [Ω]
\(R_{20}\)\(=1.62×10^{-8}×\cfrac{10}{π(1×10^{-3})^2}\)
\(R≒0.0516\) [Ω] になります。
銀の100℃における抵抗は
\(R_{100}=R_{20}\{1+α_0(100-20)\}\)
\(R≒0.0685\) [Ω] になります。
問題4
白金線の抵抗が室温 20℃ で 0.200 [Ω] であった。
温度計として使用したら、その抵抗は 0.239 [Ω] となった。このときの温度を求めよ。
白金の温度係数は 0.0039 とします。
＜解答例＞
\(T\)℃における抵抗 \(R\) の値は、次の式から求められます。
\(R_T=R_{20}\{1+α_0(T-20)\}\) [Ω]
式を変形すると、\(T\) は
\(T=\cfrac{R_T-R_{20}}{α_0R_{20}}+20\)
\(T=\cfrac{0.239-0.200}{0.0039×0.200}+20=70℃\)
になります。
