無理数の四則計算

有理数と無理数

■ 有理数とは 分数で表せる数のこと。

 \(有理数=\frac{b}{a}\) 

 \(a\) はゼロでないこと 

■ 無理数とは 分数で表せない数のこと。

円周率の \(π\) や 平方根 \(\sqrt{2}\) などのことを無理数といいます。

平方根でも \(\sqrt{4}\) のように、根号がはずせるものは無理数ではありません。

無理数の四則計算

■ 無理数の足し算と引き算

無理数の計算のルール(足し算と引き算)は

「同じ無理数どうし」 でしか、足し算も引き算もできない。

• \(\sqrt2、\sqrt3、\sqrt5、\)\(\sqrt6、\sqrt7、\sqrt{10}、\sqrt{11}\) などを、それぞれの文字と考えると良いでしょう。

それぞれを a、b、c、dなどのように考えると、文字が違うのでそのまま単純に足したり、引いたりできません。

• \(3\sqrt2\) というのは \(\sqrt2+\sqrt2+\sqrt2\) のことです。

つまり、\(\sqrt2\) が 3つ あるということです。

■ 例題 足し算・引き算

\(3\sqrt2+\sqrt2=4\sqrt2\) で \(\sqrt2\) を文字と考えた場合 \(3a+a=4a\) と同じと考えることができます。

\(8\sqrt5-4\sqrt5=4\sqrt5\) で \(\sqrt5\) を文字と考えた場合 \(8b-4b=4b\) と同じと考えることができます。

無理数の掛け算

■ 掛け算の場合も 文字 の 掛け算 と同じと考える

  • 無理数 × 有理数
  • 有理数 × 無理数
  • 無理数 × 無理数 という計算ができます。

■ 例題 掛け算

\(3×\sqrt2=3\sqrt2\)  は \(3×a=3a\) と同じ。

\(\sqrt2×\sqrt5=\sqrt{10}\) は \(a×b=ab\) と同じ。

無理数の割り算

■ 割り算の場合も 文字 の 割り算 と同じと考える

  • 無理数 ÷ 有理数
  • 有理数 ÷ 無理数
  • 無理数 ÷ 無理数 という計算ができます。

注意するのは、分母に無理数が残ってはいけないので、その場合には 分母の有理化 をしなければならないことです。

■ 例題 割り算

\(8\sqrt2÷2=4\sqrt2\) は \(8a÷2=4a\) と同じ。

\(\sqrt{14}÷\sqrt7=\sqrt{2×7}÷\sqrt7=\sqrt2\) は \(a×c÷c=a\) と同じ。

■ 分母に無理数が残る場合はそのままではいけません。

この場合は 分母の有理化 をする必要があります。

\(\cfrac{3}{\sqrt2}\)\(=\cfrac{3}{\sqrt2}×\cfrac{\sqrt2}{\sqrt2}\)\(=\cfrac{3\sqrt2}{2}\)

で分母から無理数が消えました。

これが 分母の有理化 です。 

以上で「無理数の四則計算」の説明を終わります。