無理数の四則計算

無理数の四則計算

有理数と無理数

有理数とは　分数で表せる数のこと

$$有理数=\frac{b}{a}$$
aはゼロでないこと

無理数とは　分数で表せない数のこと

●円周率の$π$や平方根$\sqrt{2}$などのこと、平方根でも$\sqrt{4}$のように、根号がはずせるものは無理数ではない。

無理数の四則計算

無理数の足し算と引き算

無理数の計算のルール（足し算と引き算）は「同じ無理数どうし」でしか足し算も引き算もできない。

●　\(\sqrt2　、\sqrt3　、\sqrt5　、\sqrt6　、\sqrt7　、\sqrt{10}　、\sqrt{11}\)などを、それぞれの文字と考えると良いでしょう。

それぞれを　a、b、c、dなどのように考えると、文字が違うのでそのまま単純に足したり、引いたりできません。

●　\(3\sqrt2\)　というのは\(\sqrt2+\sqrt2+\sqrt2 \)　のことです。

つまり、\(\sqrt2\)　が3つあるということです。

例題　足し算・引き算

$3\sqrt2+\sqrt2=4\sqrt2$　は　$\sqrt2$を文字と考えた場合　3a+a=4a　と同じ。

\(8\sqrt5-4\sqrt5=4\sqrt5\)　は　$\sqrt5$を文字と考えた場合　8b-4b=4b　と同じ。

無理数の掛け算

掛け算の場合も文字の掛け算と同じと考えて良いので

• 無理数×有理数
• 有理数×無理数
• 無理数×無理数　という計算ができます。

例題　掛け算

\(3×\sqrt2=3\sqrt2\)　は　3×a=3a　と同じ。

\(\sqrt2×\sqrt5=\sqrt{10}\)　は　a×b=ab　と同じ。

無理数の割り算

割り算も基本的な考え方は

• 無理数÷有理数
• 有理数÷無理数
• 無理数÷無理数　という計算ができます。

注意するのは、分母に無理数が残ってはいけないので、その場合には分母の有理化をしなければならないことです。

例題　割り算

\(8\sqrt2÷2=4\sqrt2\)　は　8a÷2=4a　と同じ。

\(\sqrt{14}÷\sqrt7=\sqrt{2×7}÷\sqrt7=\sqrt2\)　は　a×c÷ｃ=a　と同じ。

分母に無理数が残る場合はそのままではいけません。

この場合は分母の有理化をする必要があります。

$$\cfrac{3}{\sqrt2}=\cfrac{3}{\sqrt2}×\cfrac{\sqrt2}{\sqrt2}=\cfrac{3\sqrt2}{2}$$

で分母から無理数が消えました。

これが分母の有理化です。　

以上で「無理数の四則計算」の説明を終わります。