無理数の四則計算

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無理数の四則計算


有理数と無理数

 

有理数とは 分数で表せる数のこと

 

$$有理数=\frac{b}{a}$$
   aはゼロでないこと

 

無理数とは 分数で表せない数のこと

●円周率の$π$や平方根$\sqrt{2}$などのこと、平方根でも$\sqrt{4}$のように、根号がはずせるものは無理数ではない。

 

無理数の四則計算

 

無理数の足し算と引き算

無理数の計算のルール(足し算と引き算)は「同じ無理数どうし」でしか足し算も引き算もできない。

 

● \(\sqrt2 、\sqrt3 、\sqrt5 、\sqrt6 、\sqrt7 、\sqrt{10} 、\sqrt{11}\)などを、それぞれの文字と考えると良いでしょう。

 

それぞれを a、b、c、dなどのように考えると、文字が違うのでそのまま単純に足したり、引いたりできません。

 

● \(3\sqrt2\) というのは\(\sqrt2+\sqrt2+\sqrt2 \) のことです。

 

つまり、\(\sqrt2\) が3つあるということです。

 

例題 足し算・引き算

 

\(3\sqrt2+\sqrt2=4\sqrt2\)  ● 3a+a=4a と同じ。

 

\(8\sqrt5-4\sqrt5=4\sqrt5\)  ● 8b-4b=4b と同じ。

 

無理数の掛け算

掛け算の場合も文字の掛け算と同じと考えて良いので

  • 無理数×有理数
  •  

  • 有理数×無理数
  •  

  • 無理数×無理数という計算ができます。
 

 

例題 掛け算

 

\(3×\sqrt2=3\sqrt2\)  ● 3×a=3a と同じ。

 

\(\sqrt2×\sqrt5=\sqrt{10}\)  ● a×b=ab と同じ。

 

無理数の割り算

割り算も基本的な考え方は

  • 無理数÷有理数
  •  

  • 有理数÷無理数
  •  

  • 無理数÷無理数という計算ができます。

 

注意するのは、分母に無理数が残ってはいけないので、その場合には分母の有理化をしなければならないことです。

 

例題 割り算

 

\(8\sqrt2÷2=4\sqrt2\)    ●8a÷2=4a と同じ。

 

\(\sqrt{14}÷\sqrt7=\sqrt{2×7}÷\sqrt7=\sqrt2\)   ● a×c÷c=a と同じ。

 

分母に無理数が残る場合はそのままではいけません。

 

この場合は分母の有理化をする必要があります。

 

\(\Large\frac{3}{\sqrt2}=\frac{3}{\sqrt2}×\frac{\sqrt2}{\sqrt2}=\frac{3\sqrt2}{2} \)で分母から無理数が消えました。

 

これが分母の有理化です。 

 

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