整式の積分

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整式の積分

積分をするには、微分を知らないと出来ません。なぜなら、積分するとは微分の反対をすることです。
積分のマークはインテグラルと読みます。

 

積分とは

 

積分するとは、どういうことか

 

$f(x)=x^2$を微分すると、$f'(x)=2x$ となる訳ですが、積分するとは微分して求めた式の元の式を元を求めることです。

 

●微分のときは「前に出して、1次下げる」といいました。

 

●積分のときは「次数を上げて、次数を分母に置く」です。

 

例題
① $\int x^2 dx=\cfrac{1}{3} x^3=\cfrac{x^3}{3}$
② $\int x dx=\cfrac{1}{2} x^2=\cfrac{x^2}{2}$
③ $\int 1 dx=\cfrac{x}{1}=x$
④ $\int kx dx=k\int x dx=k\cfrac{x^2}{2}$
⑤ $\int A dx+\int B dx=\int(A+B) dx=\cfrac{(A+B)^2}{2}$

 

 

不定積分とは

答えがひとつでなく、たくさんあって、ひとつに定まらないものです。

 

上の $f(x)=x^2$ の微分して、$2x$ になるのは
$x^2$ だけではなく
$4x^2+1$
$x^2+5$
$x^2-2$
$x^2+100・・・$
などのようにたくさんある。そのため、この数字にあたるものを「積分定数C」としています。そのため、上の例の答えは「積分定数C」を付けなければならないのです。次のようになります。

 

例題
① $\int x^2 dx=\frac{1}{3} x^3=\frac{x^3}{3}+C$
② $\int x dx=\frac{1}{2} x^2=\frac{x^2}{2}+C$
③ $\int 1 dx=\frac{x}{1}=x+C$
④ $\int kx dx=k\int x dx=k\frac{x^2}{2}+C$
⑤ $\int A dx+\int B dx=\int(A+B) dx=\frac{(A+B)^2}{2}+C$

 

 

定積分


例題
① $\int^3_2 x dx=\left[\cfrac{x^2}{2} \right]^3_2$
 $=\cfrac{3^2}{2}-\cfrac{2^2}{2}$
 $=\cfrac{5}{2}$
② $\int^2_{-1}(3x^2-5x+2) dx=\left[x^3-\cfrac{5}{2}x^2+2x \right]^2_{-1}$
 $=(2^3-\cfrac{5}{2}×2^2+2×2)-\{(-1)^3-\cfrac{5}{2}(-1)^2+2(-1)\}$
 $=\cfrac{5}{2}$
③ $\int^2_1(x-3)(x+1) dx=\int^2_1(x^2-2x-3) dx$
 $=\left[\cfrac{x^3}{3}-x^2-3x \right]^2_1$
 $=(\cfrac{2^3}{3}-2^2-2^2×3×2)-(\cfrac{1^3}{3}-1^2-3×1)$
 $=-\cfrac{22}{3}-(-\cfrac{11}{3})$
 $=-\cfrac{11}{3}$

 

 

定積分の性質

 

定積分について、次の公式が成り立つ

 

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