整式の積分

整式の積分

積分をするには、微分を知らないと積分をすることができません。

なぜなら、積分するとは微分の反対　をすることなのです。

積分のマークはインテグラルと読みます。

積分するとは、どういうことか

\(f(x)=x^2\)　を微分すると、\(f'(x)=2x\)　となる訳ですが、積分するとは微分して求めた式の元の式を求める　ことです。

例題
１．\(\int x^2 dx=\cfrac{1}{3} x^3=\cfrac{x^3}{3}\)
２．\(\int x dx=\cfrac{1}{2} x^2=\cfrac{x^2}{2}\)
３．\(\int 1 dx=\cfrac{x}{1}=x\)
４．\(\int kx dx=k\int x dx=k\cfrac{x^2}{2}\)
５．\(\int A dx+\int B dx\)\(=\int(A+B) dx\)\(=\cfrac{(A+B)^2}{2}\)

不定積分とは

　答えがひとつでなく、たくさんあって、ひとつに定まらないものです。　

上の　\(f(x)=x^2\)　の微分して、\(2x\)　になるのは　\(x^2\)　だけではなく

\(x^2+1\)

\(x^2+5\)

\(x^2-2\)

\(x^2+100・・・\) などのようにたくさんあります。

そのため、この数字にあたるものを　「積分定数C」　としています。

そのため、上の例の答えは「積分定数C」を付けなければならないのです。

次のようになります。

例題
１．\(\int x^2 dx=\cfrac{1}{3} x^3=\cfrac{x^3}{3}+C\)

２．\(\int x dx=\cfrac{1}{2} x^2=\cfrac{x^2}{2}+C\)

３．\(\int 1 dx=\cfrac{x}{1}=x+C\)

４．\(\int kx dx=k\int x dx=k\cfrac{x^2}{2}+C\)

５．\(\int A dx+\int B dx\)\(=\int(A+B) dx\)\(=\cfrac{(A+B)^2}{2}+C\)

定積分

例題
１．\(\int^3_2 x dx=\left[\cfrac{x^2}{2} \right]^3_2\)
\(=\cfrac{3^2}{2}-\cfrac{2^2}{2}\)
\(=\cfrac{5}{2}\)

２．\(\int^2_{-1}(3x^2-5x+2) dx\)
\(=\left[x^3-\cfrac{5}{2}x^2+2x \right]^2_{-1}\)
\(=(2^3-\cfrac{5}{2}×2^2+2×2)\)\(-\{(-1)^3-\cfrac{5}{2}(-1)^2+2(-1)\}\)
\(=\cfrac{5}{2}\)

３．\(\int^2_1(x-3)(x+1) dx\)
\(=\int^2_1(x^2-2x-3) dx\)
\(=\left[\cfrac{x^3}{3}-x^2-3x \right]^2_1\)
\(=(\cfrac{2^3}{3}-2^2-2^2×3×2)\)\(-(\cfrac{1^3}{3}-1^2-3×1)\)
\(=-\cfrac{22}{3}-(-\cfrac{11}{3})\)
\(=-\cfrac{11}{3}\)

定積分についての公式

以上で「整式の積分」の説明を終わります。