整式の積分
積分をするには、微分を知らないと出来ません。
なぜなら、積分するとは微分の反対をすることです。
積分のマークはインテグラルと読みます。
積分するとは、どういうことか
\(f(x)=x^2\) を微分すると、\(f'(x)=2x\) となる訳ですが、積分するとは微分して求めた式の元の式を求めることです。

積分のときは「次数を上げて、次数を分母に置く」です。
例題
1.\(\int x^2 dx=\cfrac{1}{3} x^3=\cfrac{x^3}{3}\)
2.\(\int x dx=\cfrac{1}{2} x^2=\cfrac{x^2}{2}\)
3.\(\int 1 dx=\cfrac{x}{1}=x\)
4.\(\int kx dx=k\int x dx=k\cfrac{x^2}{2}\)
5.\(\int A dx+\int B dx=\int(A+B) dx=\cfrac{(A+B)^2}{2}\)
不定積分とは
答えがひとつでなく、たくさんあって、ひとつに定まらないものです。
上の \(f(x)=x^2\) の微分して、\(2x\) になるのは \(x^2\) だけではなく
\(4x^2+1\)
\(x^2+5\)
\(x^2-2\)
\(x^2+100・・・\) などのようにたくさんある。
そのため、この数字にあたるものを「積分定数C」としています。
そのため、上の例の答えは「積分定数C」を付けなければならないのです。
次のようになります。
例題
1.\(\int x^2 dx=\frac{1}{3} x^3=\frac{x^3}{3}+C\)
2.\(\int x dx=\frac{1}{2} x^2=\frac{x^2}{2}+C\)
3.\(\int 1 dx=\frac{x}{1}=x+C\)
4.\(\int kx dx=k\int x dx=k\frac{x^2}{2}+C\)
5.\(\int A dx+\int B dx=\int(A+B) dx=\frac{(A+B)^2}{2}+C\)
定積分

例題
1.\(\int^3_2 x dx=\left[\cfrac{x^2}{2} \right]^3_2\)=\(\cfrac{3^2}{2}-\cfrac{2^2}{2}\)=\(\cfrac{5}{2}\)
2.\(\int^2_{-1}(3x^2-5x+2) dx\)=\(\left[x^3-\cfrac{5}{2}x^2+2x \right]^2_{-1}\)=\((2^3-\cfrac{5}{2}×2^2+2×2)-\{(-1)^3-\cfrac{5}{2}(-1)^2+2(-1)\}\)=\(\cfrac{5}{2}\)
3.\(\int^2_1(x-3)(x+1) dx\)=\(\int^2_1(x^2-2x-3) dx\)=\(\left[\cfrac{x^3}{3}-x^2-3x \right]^2_1\)=\((\cfrac{2^3}{3}-2^2-2^2×3×2)-(\cfrac{1^3}{3}-1^2-3×1)\)=\(-\cfrac{22}{3}-(-\cfrac{11}{3})\)=\(-\cfrac{11}{3}\)
定積分の性質
定積分について、次の公式が成り立つ

以上で「整式の積分」の説明を終わります。