整式の積分

整式の積分

積分をするには、微分を知らないと出来ません。

なぜなら、積分するとは微分の反対をすることです。

積分のマークはインテグラルと読みます。

積分するとは、どういうことか

\(f(x)=x^2\) を微分すると、\(f'(x)=2x\) となる訳ですが、積分するとは微分して求めた式の元の式を求めることです。

例題
１．\(\int x^2 dx=\cfrac{1}{3} x^3=\cfrac{x^3}{3}\)
２．\(\int x dx=\cfrac{1}{2} x^2=\cfrac{x^2}{2}\)
３．\(\int 1 dx=\cfrac{x}{1}=x\)
４．\(\int kx dx=k\int x dx=k\cfrac{x^2}{2}\)
５．\(\int A dx+\int B dx=\int(A+B) dx=\cfrac{(A+B)^2}{2}\)

不定積分とは

答えがひとつでなく、たくさんあって、ひとつに定まらないものです。

上の \(f(x)=x^2\) の微分して、\(2x\) になるのは \(x^2\) だけではなく
\(4x^2+1\)

\(x^2+5\)

\(x^2-2\)

\(x^2+100・・・\) などのようにたくさんある。

そのため、この数字にあたるものを「積分定数C」としています。

そのため、上の例の答えは「積分定数C」を付けなければならないのです。

次のようになります。

例題
１．\(\int x^2 dx=\frac{1}{3} x^3=\frac{x^3}{3}+C\)

２．\(\int x dx=\frac{1}{2} x^2=\frac{x^2}{2}+C\)

３．\(\int 1 dx=\frac{x}{1}=x+C\)

４．\(\int kx dx=k\int x dx=k\frac{x^2}{2}+C\)

５．\(\int A dx+\int B dx=\int(A+B) dx=\frac{(A+B)^2}{2}+C\)

定積分

例題
１．\(\int^3_2 x dx=\left[\cfrac{x^2}{2} \right]^3_2\)＝\(\cfrac{3^2}{2}-\cfrac{2^2}{2}\)＝\(\cfrac{5}{2}\)

２．\(\int^2_{-1}(3x^2-5x+2) dx\)＝\(\left[x^3-\cfrac{5}{2}x^2+2x \right]^2_{-1}\)＝\((2^3-\cfrac{5}{2}×2^2+2×2)-\{(-1)^3-\cfrac{5}{2}(-1)^2+2(-1)\}\)＝\(\cfrac{5}{2}\)

３．\(\int^2_1(x-3)(x+1) dx\)＝\(\int^2_1(x^2-2x-3) dx\)＝\(\left[\cfrac{x^3}{3}-x^2-3x \right]^2_1\)＝\((\cfrac{2^3}{3}-2^2-2^2×3×2)-(\cfrac{1^3}{3}-1^2-3×1)\)＝\(-\cfrac{22}{3}-(-\cfrac{11}{3})\)＝\(-\cfrac{11}{3}\)

定積分の性質

定積分について、次の公式が成り立つ

以上で「整式の積分」の説明を終わります。