整式の積分




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整式の積分

積分をするには、微分を知らないと出来ません。

なぜなら、積分するとは微分の反対をすることです。

積分のマークはインテグラルと読みます。

積分するとは、どういうことか

\(f(x)=x^2\) を微分すると、\(f'(x)=2x\) となる訳ですが、積分するとは微分して求めた式の元の式を求めることです。

微分のときは「前に出して、1次下げる」といいました。

積分のときは「次数を上げて、次数を分母に置く」です。

例題
1.\(\int x^2 dx=\cfrac{1}{3} x^3=\cfrac{x^3}{3}\)
2.\(\int x dx=\cfrac{1}{2} x^2=\cfrac{x^2}{2}\)
3.\(\int 1 dx=\cfrac{x}{1}=x\)
4.\(\int kx dx=k\int x dx=k\cfrac{x^2}{2}\)
5.\(\int A dx+\int B dx=\int(A+B) dx=\cfrac{(A+B)^2}{2}\)

不定積分とは

答えがひとつでなく、たくさんあって、ひとつに定まらないものです。

上の \(f(x)=x^2\) の微分して、\(2x\) になるのは \(x^2\) だけではなく
\(4x^2+1\)

\(x^2+5\)

\(x^2-2\)

\(x^2+100・・・\) などのようにたくさんある。

そのため、この数字にあたるものを「積分定数C」としています。

そのため、上の例の答えは「積分定数C」を付けなければならないのです。

次のようになります。

例題
1.\(\int x^2 dx=\frac{1}{3} x^3=\frac{x^3}{3}+C\)

2.\(\int x dx=\frac{1}{2} x^2=\frac{x^2}{2}+C\)

3.\(\int 1 dx=\frac{x}{1}=x+C\)

4.\(\int kx dx=k\int x dx=k\frac{x^2}{2}+C\)

5.\(\int A dx+\int B dx=\int(A+B) dx=\frac{(A+B)^2}{2}+C\)

定積分

例題
1.\(\int^3_2 x dx=\left[\cfrac{x^2}{2} \right]^3_2\)=\(\cfrac{3^2}{2}-\cfrac{2^2}{2}\)=\(\cfrac{5}{2}\)

2.\(\int^2_{-1}(3x^2-5x+2) dx\)=\(\left[x^3-\cfrac{5}{2}x^2+2x \right]^2_{-1}\)=\((2^3-\cfrac{5}{2}×2^2+2×2)-\{(-1)^3-\cfrac{5}{2}(-1)^2+2(-1)\}\)=\(\cfrac{5}{2}\)

3.\(\int^2_1(x-3)(x+1) dx\)=\(\int^2_1(x^2-2x-3) dx\)=\(\left[\cfrac{x^3}{3}-x^2-3x \right]^2_1\)=\((\cfrac{2^3}{3}-2^2-2^2×3×2)-(\cfrac{1^3}{3}-1^2-3×1)\)=\(-\cfrac{22}{3}-(-\cfrac{11}{3})\)=\(-\cfrac{11}{3}\)

定積分の性質

定積分について、次の公式が成り立つ

以上で「整式の積分」の説明を終わります。




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