整式の微分

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整式の微分

微分するということは、どういうことかというと、関数 \(f(x)\) の導関数 \(f'(x)\) を求めることを関数 \(f(x)\) を微分するという。
関数の極限
平均変化率
微分係数
微分=導関数を求めること
三角関数の微分と積分の公式


関数の極限

 

関数とは何か

「関数とは対応である。」といった先生がいます。

 

つまり、$x$ を決めるとひとつの $y$ が決まることです。

 

たとえば、$y=x$ でも $y=x^2$ でも $x$の値が決まると一つの $y$ が決まります。

 

$x$に対応して $y$が決まるので関数と言えます。 

 

変数 $x$ の値は好きな様に決められるので、独立変数といい、 $y$ は変数 $x$ の値によって決められるので、従属変数といいます。

 

整式の定義

ある幾つかの文字を含む式を加法・減法・乗法を使って整理して、分母あるいは根号の中に文字を含まないようにした代数式のことです。

 

要するに答えとしての形としては、分数の分母に文字が残っていたり、根号(ルート)の中に文字が残っていてはいけないということです。

 

これから $y=f(x)$ という式にあるように、$f(x)$ というものが出てきます。

 

この $f(x)$ の意味をよく理解しておかないと後で分からなくなります。

 

この $f(x)$ はここに関数が入りますよということを示しているのです。

 

ですから、ここに $x, x^2, (2x+2)$ のように関数が入るという意味を理解しておくと良いでしょう。

 

関数の極限

関数 $y=f(x)$ について、変数 $x$ が数 $a$ 以外の値をとりながら $a$ に近づくとき、

 

$y=f(x)$ の値が限りなく値 $b$に 近づくとする。
このことを
$\lim_{x \to a} f(x)=b$ または $ \lim_{x \to a} y=b$  $式(1.1)$と書きます。

 

$lim$はリミットとよみます。

 

●$x$ を限りなく $a$ に近づけるとき $y=f(x)$ は $b$ に収束するといいます。

 

●$b$ を $x$ が $a$ に近づくときの $y=f(x)$ の極限値といいます。

 

上の式(1.1)を次のように書くこともあります。
$x→a$のとき  $f(x)→b$ または $f(x)→b  (x→a)$と書きます。

 

極限値の考え方はどうするか

  1. 代入するということ
  2. 分数は約分してから

例題
① $\lim_{h \to 1} (1+2h)=1+2×1=3     h=1$ を代入
② $\lim_{h \to 0} (1+2h+h^2)=1+2×0+0^2=1    h=0$ を代入
③ $\lim_{h \to 1}\cfrac{3(a+h^2)-3a^2}{h}= \lim_{h \to 1}\cfrac{3(a^2+2ah+h^2)-3a^2}{h}$
  $=\lim_{h \to 1}\cfrac{6ah+3h^2}{h}=\lim_{h \to 1}(6a+3h)=6a$
④ $\lim_{h \to 1}\cfrac{(3+h)^3-3^3}{h}=\lim_{h \to 1}\cfrac{h^3+9h^2+27h-27}{h}=\lim_{h \to 1}\cfrac{h^3+9h+27h}{h}$
  $= \lim_{h \to 1}(h^2+9h+27)=27$
⑤ $\lim_{x \to 2} \cfrac{x^2+x-6}{x^2-4}= \lim_{x \to 2}\cfrac{(x+3)(x-2)}{(x+2)(x-2)}= \lim_{x \to 2}\cfrac{(x+3)}{(x+2)}=\cfrac{5}{4}$


平均変化率

 

平均変化率とは傾きのこと

●\(y=f(x)\) において、変数 \(x\) の値が \(a\) から \(b\) まで変化するとき、\(y\) は \(f(a)\) から \(f(b)\) まで変化する。
 \(y\) の増分を \(⊿y=f(b)-f(a)\) で表し

 

 \(x\) の増分を \(⊿x=b-a\) で表す。 ⊿はデルタとよみます。

 

ここで、\(⊿y\) と \(⊿x\) の比のことを関数 \(y=f(x)\) の平均変化率をいう。この平均変化率は傾きのことです。
\[
\frac{⊿y}{⊿x}= \cfrac{f(b)-f(a)}{b-a} \tag{2.1}
\]
\(x\) の増分 \(⊿x=b-a\) から \(b=a+⊿x\) とすると \(\therefore ⊿y=f(a+⊿x)-f(a)\)となり、平均変化率(2.1)は次のようになる。
\[
\frac{⊿y}{⊿x}= \cfrac{f(a+⊿x)-f(a)}{⊿x} \tag{2.2}
\]

例題
\(y=f(x)でy=2x^2のとき  y'は\)
① $\cfrac{2×3^2-2×1^2}{3-1}=\cfrac{18×2}{2}=8$
② $\cfrac{2(-1)^2-2(-4)^2}{-1-(-4)}=\cfrac{-30}{3}=-10$
③ $\cfrac{2b^2-2a^2}{b-a}=\cfrac{2(b+a)(b-a)}{b-a}=2(a+b)$
④ $\cfrac{2(1+h)^2-2×1^2}{1+h-1}=\cfrac{2h^2+4h+2-2}{h}=\cfrac{2h^2+4h}{h}=2h+4$
⑤ $\cfrac{2(a+h)^2-2(a)^2}{a+h-a}=\cfrac{2h^2+4ah+2a^2-2a^2}{h}=\cfrac{2h^2+4ah}{h}=4a+2h$


微分係数

 

定義に従った求め方

微分係数=接線の傾きです。

 

・関数\(y=f(x)\)について、\(x\) が \(a\) から \(a+h\) まで変化すると、平均変化率は次になる。
\[
\cfrac{⊿y}{⊿x}= \cfrac{f(a+h)-f(a)}{h}
\]
定義に従った求め方というのは、平均変化率の極限値を求めることです。

 

その極限値のことを微分係数という。記号は \(f'(a)\) とする。

 

したがって、\(y=f(x)\)の\(x=a\) における微分係数は次のようになる。

 

\(f'\)の’(ダッシュ)が微分することを意味します。
\[
f'(a)=\lim_{h \to 0} \cfrac{f(a+h)-f(a)}{h} \tag{2.3} 
\]
また次のように表すこともできる。
\[
f'(a)=\lim_{x \to a} \cfrac{f(x)-f(a)}{x-a} \tag{2.4}
\]

 

$f(3)$ の意味は何かというと

 

$y=f(x)=2x^2$ のときに

 

$y=2x^2$ に $x=3$ を入れた時の $y$ の値はいくつかということを意味しています。

 

① $f(x)=2x^2$で $(x=1)$とした時
$f'(1)= \lim_{h \to 0}\cfrac{f(1+h)-f(1)}{1+h-1}$
$= \lim_{h \to 0}\cfrac{2(1+h)^2-2×1^2}{h}$
$=\lim_{h \to 0}\cfrac{2h^2+4h+2-2}{h}$
$=\lim_{h \to 0}\cfrac{h(2h+4)}{h}$
$=4

 

② $f(x)=2x-3$で $(x=-1)$とした時
$f'(-1)= \lim_{h \to 0}\cfrac{f(-1+h)-f(-1)}{-1+h-(-1)}$
$= \lim_{h \to 0}\cfrac{\{(-2+2h)-3\}-\{2(-1)-3\}}{h}$
$=\lim_{h \to 0}\cfrac{2h}{h}$
$=\lim_{h \to 0}2=2$

 

③ $f(x)=-x^2+3x+1$で $(x=-2)$とした時
$f'(-2)= \lim_{h \to 0}\cfrac{f(-2+h)-f(-2)}{-2+h-(-2)}$
$= \lim_{h \to 0}\cfrac{\{-(-2+h)^2+3(-2+h)+1\}-\{-(-2)^2+3(-2)+1\}}{h}$
$=\lim_{h \to 0}\cfrac{(-h^2+7h-9)-(-9)}{h}$
$=\lim_{h \to 0}(-h+7)=7$


微分=導関数を求めること

 

微分とは導関数を求めること

導関数は微分係数のときの a が x に変わっただけです。そして、導関数 \(f'(x)\) を求めることを微分するといいます。

 

微分係数の変化
2次関数 \(f(x)=x^2\) の \(x=a\) における微分係数 \(f'(a)\) は
$ f'(a)=\lim_{⊿x \to 0} \cfrac{(a+⊿x)^2-a^2}{⊿x}=\lim_{⊿x \to 0} \cfrac{a^2+2a⊿x+⊿x^2-a^2}{⊿x}$
$=\lim_{⊿x \to 0} \cfrac{⊿x(2a+⊿x)}{⊿x}=\lim_{⊿x \to 0}(2a+⊿x)=2a$
となるが、ここで勘違いをするのが、⊿yの増加分の内の $-a^2$ を忘れてしまうことです。

 

話を戻して、2次関数 \(f(x)=x^2\) の \(x=a\) における微分係数 \(f'(a)\) は
\[
f'(a)=2a
\]となりますので、微分係数 \(f'(a)=2a\) は \(a\) が決まれば \(f'(a)\) が決まりますので \(a\) の関数であるといえます。

 

ここで $a$ を $x$ でおきかえれば、2次関数 \(f(x)=x^2\) から新たに関数 \(f'(x)=2x\) を作ることができる。

 

導関数の定義

一般に、関数 \(f(x)\) について、微分係数 \(f'(x)\) を 関数 \(f(x)\) の導関数といいます。

 

導関数 
関数 \(y=f(x)\) の導関数\(f'(x)\)は
$ f'(x)=\lim_{⊿x \to 0} \cfrac{⊿y}{⊿x}=\lim_{⊿x \to 0} \cfrac{f(x+⊿x)-f(x)}{⊿x}$

 

そして、関数 \(f(x)\) の導関数を
\[
y'、f'、f'(x)、\frac{dy}{dx}、\frac{df}{dx}、\frac{d}{dx}f(x)
\]などの記号で表す。

 

注意
ここで、分子の \(f(x+⊿x)-f(x)\) を展開したくなるが、\(f(x+⊿x)\) 自体がひとつの関数なのでこれ以上展開できないことを理解しなければならない。

 

微分

関数 \(f(x)\) の導関数 \(f'(x)\) を求めることを関数 \(f(x)\) を微分するという。
微分とは接線の傾きを求めることである。

 

参考
3乗の展開公式
$( a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
$( a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

 

$(a+b)(a^2- ab+b^2)= a^3+b^3$
$(a-b)(a^2+ ab+b^2)= a^3-b^3$

 

 

微分の公式(簡単な方法)

●前に出して、1次下げる。

$(x^n)'=nx^{n-1}   (nは正の整数)$

例題
$(x^3)'=3×x^2=3x^2$
$(3x)'=2×3x^1=6x$
$(-5x)'=1×(-5)x^0=-5$
$(7)'=0$

 

 

(ⅰ)  $y=k   → y'=0$
(ⅱ)  $y=kf(x) → y'=kf'(x) (kは定数)$   

 

[証明] $(ⅰ) y=k$ ならば
$\cfrac{⊿y}{⊿x}=\cfrac{k-k}{⊿x}   \therefore y'=\lim_{⊿x \to 0}\cfrac{⊿y}{⊿x}=0$

 

[証明] $(ⅱ) y=kf(x)$ ならば、$y$ の増分 $⊿y$ は
$⊿y=kf(x+⊿x)-kf(x)=k\{f(x)+⊿x)-f(x)\}$

 

$\therefore y'=\lim_{⊿x \to 0}\cfrac{⊿y}{⊿x}=\lim_{⊿x \to 0}\cfrac{k\{f(x+⊿x)-f(x)\}}{⊿x}$
$=k\lim_{⊿x \to 0}\cfrac{f(x+⊿x)-f(x)}{⊿x}=kf'(x)$
$\therefore y'=kf'(x)$

 

(ⅰ)  $\{f(x)+g(x)\}'=f'(x)+g'(x)$
(ⅱ)  $\{f(x)-g(x)\}'=f'(x)-g'(x)$

[証明] \((ⅰ) y=f(x)+g(x) とすれば、yの増分⊿yは\)
$⊿y=\{f(x+⊿x)+g(x+⊿x)\}-\{f(x)+g(x)\}$
$=\{f(x+⊿x)-f(x)\}+\{g(x+⊿x)-g(x)\}$

 

ゆえに、 \(y'=\{f(x)+g(x)\}'\) を次のように求めることができます。
$y'=\lim_{⊿x \to 0}\cfrac{⊿y}{⊿x}$
$=\lim_{⊿x \to 0}\cfrac{f(x+⊿x)-f(x)}{⊿x}+\lim_{⊿x \to 0}\cfrac{g(x+⊿x)-g(x)}{⊿x}$
$=f'(x)+g'(x)$

 

[証明] \((ⅱ) 上の(ⅰ)\) と同じように証明できます。

 


三角関数の微分と積分の公式

 

三角関数の微分は、大ざっぱに言うとサインを微分するとコサインになり、コサインを微分するとサインになるということになる。

 

微分の公式

$(\sin x)'=\cos x$
$(\cos x)'=-\sin x$
$(\tan x)'=\cfrac{1}{\cos^2x}=\sec^2x$

 

$a$ を定数として、一般化する
$(\sin ax)'=a\cos ax$
$(\cos ax)'=-a\sin ax$
$(\tan ax)'=a\sec^2ax$

 

積分の公式

$\int \cos xdx=\sin x+C$
$\int \sin xdx=-\cos x+C$

 

$a$ を定数として、一般化する
$\int \cos axdx=\cfrac{1}{a}\sin ax+C$
$\int \sin axdx=-\cfrac{1}{a}\cos ax+C$

 

 

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