弧度法と度数法の関係




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弧度法と度数法の関係

角度を測るのに、一般的には円周を360等分した、弧の中心角で表す度数法を使います。

しかし、電気の分野などでは角度を円弧の長さで測る 「弧度法」を使います。

弧度法の単位には、ラジアン [rad]を用います。

弧度法の考え方

円の中心角の大きさは、それに対する 円弧の長さと比例します。

そして、この関係から中心角の大きさを、弧の長さで表すことができます。

弧度法=\(\cfrac{円弧の長さ}{半径}\) [rad]

弧度法の単位は分子と分母を長さの単位で割るので、約分されて消えてしまいます。

そのため、ラジアンという単位を用います。

弧度法の 1ラジアンとは、円の半径と円弧の長さが等しいときの、中心角の大きさをいいます。

中心角の大きさと弧の長さの関係

ここで、半径1 の円(単位円)の円弧の長さ θ とすると、それに対する中心角の大きさも θ になる。

中心角(弧度法)=\(\cfrac{円弧の長さ}{半径}=\cfrac{θ}{半径}=\cfrac{θ}{1}=θ\)

次に、弧度法の式から、半径 r で中心角が θ に対する円弧の長さは、rθ で表される。

円弧の長さ=半径 × 中心角 = rθ

度数法と弧度法の関係

単位円の円周は 360°です。

弧度法では \(2π\) [rad]

360°=\(\cfrac{円周の長さ}{半径}=\cfrac{2πr}{r}=2π\)

よく使う角度

360°=\(2π\) [rad] 
180°=\(π\) [rad] 
90°=\(\cfrac{1}{2}π\) [rad] 
60°=\(\cfrac{1}{3}π\) [rad] 
45°=\(\cfrac{1}{4}π\) [rad] 
30°=\(\cfrac{1}{6}π\) [rad] 

非常に小さい角度の三角関数

いま、図のような半径1 の円を考えるたとき、角度 θ ラジアンに対する、円弧の長さは \(θ、\sinθ\) は赤線の長さ、\(\cosθ\) は青線の長さ になります。

従って、角度 θ の値が 0(ゼロ)に近づいて行くと
\(θ→0\) のとき\(\sinθ→θ\)(赤線の長さは、円弧の長さに近づいて行く)

\(\cosθ→1\)(青線の長さは、円の半径の1に近づいて行く)

\(\tanθ→θ\)(\(tanθ=\cfrac{\sinθ}{\cosθ}=\cfrac{θ}{1}=θ\))

以上で「弧度法と度数法の関係」の説明を終わります。




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