弧度法と度数法の関係

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弧度法と度数法の関係

角度を測るのに、一般的には円周を360等分した、弧の中心角で表す度数法を使います。しかし、電気の分野などでは角度を円弧の長さで測る「弧度法」を使います。
弧度法の単位には、ラジアン[rad]を用います。

 

弧度法の考え方

 

円の中心角の大きさは、それに対する円弧の長さと比例します。そして、この関係から中心角の大きさを、弧の長さで表すことができます。

 

弧度法$=\cfrac{円弧の長さ}{半径} [rad]$

 

弧度法の単位は分子と分母を長さの単位で割るので、約分されて消えてしまいます。そのため、ラジアンという単位を用います。

 


弧度法の1ラジアンとは、円の半径と円弧の長さが等しいときの、中心角の大きさをいいます。

 

中心角の大きさと弧の長さの関係

 

ここで、半径1の円(単位円)の円弧の長さ $θ$ とすると、それに対する中心角の大きさも $θ$ になる。

 

中心角(弧度法)$=\cfrac{円弧の長さ}{半径}=\cfrac{θ}{半径}=\cfrac{θ}{1}=θ$

 

 

次に、弧度法の式から、半径 $r$ で中心角が $θ$ に対する円弧の長さは、$rθ$ で表される。

 

円弧の長さ$=半径×中心角=rθ$

 

度数法と弧度法の関係

 

単位円の円周は360°です。弧度法では $2π[rad]$

 

$360°=\cfrac{円周の長さ}{半径}=\cfrac{2πr}{r}=2π$

 

よく使う角度

$360°=2π [rad]$
$180°=π [rad]$
$90°=\cfrac{1}{2}π [rad]$
$60°=\cfrac{1}{3}π [rad]$
$45°=\cfrac{1}{4}π [rad]$
$30°=\cfrac{1}{6}π [rad]$

 

非常に小さい角度の三角関数

 

いま、図のような半径1の円を考えるたとき、角度 $θ$ ラジアンに対する、円弧の長さは $θ、\sinθ$ は赤線の長さ、 $\cosθ$ は青線の長さになる。

従って、角度 $θ$ の値が0(ゼロ)に近づいて行くと

 

$θ→0$ のとき $\sinθ→θ$ (赤線の長さは、円弧の長さに近づいて行く)
$\cosθ→1$ (青線の長さは、円の半径の1に近づいて行く)
$\tanθ→θ (tanθ=\cfrac{\sinθ}{\cosθ}=\cfrac{θ}{1}=θ)$

 

 

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