三相電力の公式

1 三相電力の公式
- 1.1 平衡三相Y－Y結線の三相電力の公式
- 1.2 平衡三相Δ－Δ結線の三相電力の公式
2 三相交流回路の電力を「三相電力」という
3 三相電力の演習問題

三相交流回路の計算をする場合には、三相電力の公式$P=\sqrt{3}VI\cosθ$を使います。

ここでは、三相電力の公式の算出の方法を、スター結線とデルタ結線の場合について説明しています。

三相電力の公式は相電圧と相電流を使う場合は、$P=3VI\cosθ$になります。

平衡三相回路の線間電圧　$V_l$　、線電流　$I_l$　、力率　$\cosθ$　としたときの　三相電力の公式　$P$　は、次の式で表されます。

$$P=\sqrt{3}V_lI_l\cosθ[W] \tag{4-1-9-1}$$

　
また、平衡三相回路の相電圧　$V$　、相電流　$I$　、力率　$cosθ$ としたときの三相電力の公式　$P$　は、次のように単相電力の　3倍になります。

$$P=3VI\cosθ[W] \tag{4-1-9-2}$$

平衡三相Y－Y結線の三相電力の公式

平衡三相Y－Y結線の三相電力の公式　$P [W]$　を、線間電圧　$V_l [V]$　、線電流　$I_l [A]$　で表してみます。

図に示す通り、Y－Y結線の相電圧　$V$　は線間電圧　$V_l$　の　$\cfrac{1}{\sqrt{3}}$ 倍、また、相電流　$I$　は線電流　$I_l$　と等しいので

$V=\cfrac{1}{\sqrt{3}}V_l$

$I=I_l$

これを三相電力の公式(4-1-9-2)に代入すると

$$P=3VI\cosθ　[W]\tag{4-1-9-2}$$

$P=3×\cfrac{1}{\sqrt{3}}V_lI_l\cosθ[W]$

三相電力の公式　$P＝\sqrt{3}$×線間電圧×線電流×力率[W]　になります。

$$P=\sqrt{3}V_lI_l\cosθ[W]\tag{4-1-9-1}$$

平衡三相回路の三相電力を線間電圧と線電流で計算する場合は式(4-1-9-1)を用います。

平衡三相Δ－Δ結線の三相電力の公式

では、デルタ結線の回路ではどうなるでしょう。

同じく、平衡三相Δ－Δ結線の三相電力　$P [W]$　、線間電圧　$V_l [V]$　、線電流　$I_l [A]$　で表してみます。

図に示す通り、Δ－Δ結線の相電圧　$V$　は線間電圧　$V$　に等しい、また、相電流　$I$　は線電流　$I_l$　の　$\cfrac{1}{\sqrt{3}}$　倍になります。

$V=V_l$

$I=\cfrac{1}{\sqrt{3}}I_l$

これを三相電力の公式(4-1-9-2)に代入すると

$$P=3VI\cosθ[W]\tag{4-1-9-2}$$

$P=3×\cfrac{1}{\sqrt{3}}V_lI_l\cosθ[W]$

三相電力の公式　$P＝\sqrt{3}$×線間電圧×線電流×力率[W]　になります。

$$P=\sqrt{3}V_lI_lcosθ[W]\tag{4-1-9-1}$$

従って、三相電力の公式　$P$　は平衡三相回路のY－Y結線、Δ－Δ結線のような負荷の結線方式には、関係なく同じ式で求めることができます。

三相交流回路の電力を「三相電力」という

ここでは、三相電力の公式の求め方を説明します。

三相電力を求める手順

各相の瞬時電力を求める。
各相の瞬時電力の和が三相電力になる。
ただし、この三相電力は、相電圧と相電流を計算したものになる。
三相電力を線間電圧と線電流の計算式に直す。

上図の平衡三相回路において、相電圧（実効値）を　$V [V]$　、相電流を　$I [A]$　、相電圧と相電流の位相差を　$θ [rad]$　とすると、各相の瞬時電圧　$v_a、v_b、v_c$　と瞬時電流　$i_a、i_b、i_c$　は次のとおりです。　

●各瞬時値

$v_a=\sqrt{2}V\sinωt \tag{1}$

$v_b=\sqrt{2}V\sin(ωt-\cfrac{2π}{3}) \tag{2}$

$v_c=\sqrt{2}V\sin(ωt-\cfrac{4π}{3}) \tag{3}$

$i_a=\sqrt{2}I\sin(ωt-θ) \tag{4}$

$i_b=\sqrt{2}I\sin(ωt-\cfrac{2π}{3}-θ) \tag{5}$

$i_c=\sqrt{2}I\sin(ωt-\cfrac{4π}{3}-θ) \tag{6}$

$i_0=i_a+i_b+i_c=0 \tag{7}$

三相電力は各瞬時値の和になる

各相の瞬時電力を求める

各相の瞬時電力　$P_a、P_b、P_c$　は、各瞬時電圧　$v$　と瞬時電流　$i$　の積で求めることができます。

$$P_a=v_ai_a[W]$$

$$P_b=v_bi_b[W]\tag{8}$$

$$P_c=v_ci_c[W]$$

したがって、三相電力　$P$　は

$P=P_a+P_b+P_c \tag{9}$

前項の瞬時値を入れて、各相の瞬時電力 $P_a、P_b、P_c$ を計算してみます。

●$P_a$ を求める

$P_a=v_ai_a=\sqrt{2}V\sinωt×\sqrt{2}I\sin(ωt-θ)$

$P_a=2VI\sinωt\cdot\sin(ωt-θ)\tag{a-1}$

三角関数の公式から

$\sinα\cdot\sinβ$

$\qquad=\cfrac{1}{2}\{\cos(α-β)-\cos(α+β)$

$α=ωt　β=ωt-θ$　とおいて、式(a-1)に代入する。

$P_a=2VI×\cfrac{1}{2}[\cos\{ωt-(ωt-θ)\}$

$\qquad-\cos\{ωt+(ωt-θ)\}]$

$P_a=VI \cosθ-VI\cos(2ωt-θ)\tag{a-2}$

●$P_b$ を求める

$P_b=v_bi_b=\sqrt{2}V\sin(ωt-\cfrac{2π}{3})$

$\qquad×\sqrt{2}I\sin(ωt-\cfrac{2π}{3}-θ)$

$P_b=2VI\sin(ωt-\cfrac{2π}{3})$

$\qquad\cdot\sin(ωt-\cfrac{2π}{3}-θ)\tag{b-1}$

三角関数の公式から

$\sinα\cdot\sinβ=\cfrac{1}{2}\{\cos(α-β)-\cos(α+β)\}$

$α=ωt-\cfrac{2π}{3}　β=ωt-\cfrac{2π}{3}-θ$　とおいて、式(b-1)に代入する。

$P_b=2VI×\cfrac{1}{2}[\cos\{(ωt-\cfrac{2π}{3})$

$\qquad-(ωt-\cfrac{2π}{3}-θ)\}-\cos\{(ωt-\cfrac{2π}{3})$

$\qquad+(ωt-\cfrac{2π}{3}-θ)\}]$

$P_b=VI \cosθ-VI\cos(2ωt-\cfrac{4π}{3}-θ)$
$\qquad\tag{b-2}$

三角関数の公式から

$\cos(α-β)=\cosα\cdot\cosβ+\sinα\cdot\sinβ$

$α=2ωt-θ　β=\cfrac{4π}{3}$　とおいて、式(b-2)に代入する。

$P_b=VI \cosθ-VI\{\cos(2ωt-θ)$

$\qquad\cdot\cos\cfrac{4π}{3}+\sin(2ωt-θ)\cdot\sin\cfrac{4π}{3}\}$

$P_b=VI \cosθ-VI\{\cos(2ωt-θ)$

$\qquad\cdot(-\cfrac{1}{2})+\sin(2ωt-θ)\cdot(-\cfrac{\sqrt{3}}{2})\}$

$P_b=VI \cosθ+\cfrac{1}{2}VI\cos(2ωt-θ)$

$\qquad+\cfrac{\sqrt{3}}{2}\sin(2ωt-θ)\tag{b-3}$

●$P_c$ を求める

$P_c=v_ci_c=\sqrt{2}V\sin(ωt-\cfrac{4π}{3})$

$\qquad×\sqrt{2}I\sin(ωt-\cfrac{4π}{3}-θ)$

$P_c=2VI\sin(ωt-\cfrac{4π}{3})$

$\qquad\cdot\sin(ωt-\cfrac{4π}{3}-θ)\tag{c-1}$

三角関数の公式から

$\sinα\cdot\sinβ=\cfrac{1}{2}\{\cos(α-β)-\cos(α+β)\}$

$α=ωt-\cfrac{4π}{3}　β=ωt-\cfrac{4π}{3}-θ$　とおいて、式(c-1)に代入する。

$P_c=2VI×\cfrac{1}{2}[\cos\{(ωt-\cfrac{4π}{3})$

$\qquad-(ωt-\cfrac{4π}{3}-θ)\}-\cos\{(ωt-\cfrac{4π}{3})$

$\qquad+(ωt-\cfrac{4π}{3}-θ)\}]$

$P_c=VI \cosθ-VI\cos(2ωt-\cfrac{8π}{3}-θ)$
$\qquad\tag{c-2}$

三角関数の公式から

$$\cos(α-β)=\cosα\cdot\cosβ+\sinα\cdot\sinβ$$

$α=2ωt-θ　β=\cfrac{8π}{3}$　とおいて、式(c-2)に代入する。

$P_c=VI \cosθ-VI\{\cos(2ωt-θ)$

$\qquad\cdot\cos\cfrac{8π}{3}+\sin(2ωt-θ)\cdot\sin\cfrac{8π}{3}\}$

$P_c=VI \cosθ-VI\{\cos(2ωt-θ)$

$\qquad\cdot(-\cfrac{1}{2})+\sin(2ωt-θ)\cdot(\cfrac{\sqrt{3}}{2})\}$

$P_c=VI \cosθ+\cfrac{1}{2}VI\cos(2ωt-θ)$

$\qquad-\cfrac{\sqrt{3}}{2}\sin(2ωt-θ)\tag{c-3}$

三相電力は単相電力の3倍になる

上で求めた瞬時電力を、用いて三相電力を計算する。

各相の瞬時電力の合計

$P=P_a+P_b+P_c$

$P_a=VI \cosθ-VI\cos(2ωt-θ)\tag{a-2}$

$P_b=VI \cosθ+\cfrac{1}{2}VIcos(2ωt-θ)$

$\qquad+\cfrac{\sqrt{3}}{2}\sin(2ωt-θ)\tag{b-3}$

$P_c=VI \cosθ+\cfrac{1}{2}VI\cos(2ωt-θ)$

$\qquad-\cfrac{\sqrt{3}}{2}\sin(2ωt-θ)\tag{c-3}$

三相電力＝3×相電圧×相電流×力率　[W]　となる。

$$P=3VI\cosθ[W]\tag{4-1-9-2}$$

単相交流回路の電力は$VI\cosθ\)　ですから、三相電力は単相電力を3倍したものになります。

平衡三相回路の三相電力を相電圧と相電流で計算する場合は式(4-1-9-2)を用います。

三相電力の演習問題

演習問題　1

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解　答

・平衡三相Δ結線負荷の三相電力Pは、公式から
$$P=\sqrt{3}V_lI_l\cosθ$$

$$P=\sqrt{3}×100×5×0.6≒520[W]$$

演習問題　2

ここをクリックで解答の表示・非表示

解　答

・平衡三相Y結線負荷の線電流は相電流と等しいので、相電流を求める。

相電流は相電圧をインピーダンスで割れば良いので、

線電流＝相電流＝$\cfrac{相電圧}{インピーダンス}$

線電流$I_l=\cfrac{100}{\sqrt{3}}×\cfrac{1}{5}=\cfrac{20}{\sqrt{3}} {A}$

$P=\sqrt{3}×100×\cfrac{20}{\sqrt{3}}×\cfrac{1}{2}=1000[W]$

ただし、$\cos\cfrac{π}{3}=\cfrac{1}{2}$

以上で「三相電力の公式」の説明を終わります。

三相電力の公式