三相電力の公式

三相電力の公式

三相交流回路の計算をする場合には、三相電力の公式 \(P=\sqrt{3}VI\cosθ\) を使います。

ここでは、三相電力の公式の算出の方法を、スター結線とデルタ結線の場合について説明しています。

三相電力の公式は相電圧と相電流を使う場合は、\(P=3VI\cosθ\) になります。

平衡三相回路の線間電圧 \(V_l\)、線電流 \(I_l\)、力率 \(\cosθ\)　としたときの 三相電力の公式 \(P\) は、次の式で表されます。

線間電圧 と 線電流を使うとき

\(P=\sqrt{3}V_lI_l\cosθ\) [W] \(\cdots(1)\)
　
また、平衡三相回路の相電圧 \(V\)、相電流 \(I\)、力率 \(\cosθ\) としたときの三相電力の公式 \(P\) は、次のように単相電力の　3倍になります。

相電圧 と 相電流を使うとき

\(P=3VI\cosθ\) [W] \(\cdots(2)\)

平衡三相Y－Y結線の三相電力の公式

平衡三相 Y－Y結線の三相電力の公式 \(P\) [W] を、線間電圧 \(V_l\) [V]、線電流 \(I_l\) [A] で表してみます。

図に示す通り、Y－Y結線の相電圧 \(V\) は線間電圧 \(V_l\) の \(\cfrac{1}{\sqrt{3}}\) 倍、また、相電流 \(I\) は線電流 \(I_l\)　 と等しいので

\(V=\cfrac{1}{\sqrt{3}}V_l\)

\(I=I_l\)

これを 次の三相電力の公式（2）に代入すると

\(P=3VI\cosθ\) [W] \(\cdots(2)\)

\(P=3×\cfrac{1}{\sqrt{3}}V_lI_l\cosθ\) [W]

三相電力の公式 \(P＝\sqrt{3}\) × 線間電圧 × 線電流 × 力率 [W] になります。

\(P=\sqrt{3}V_lI_l\cosθ\) [W]

平衡三相 Δ－Δ結線の三相電力の公式

では、デルタ結線の回路ではどうなるでしょう。

同じく、平衡三相 Δ－Δ結線の三相電力 \(P\) [W]、線間電圧 \(V_l\) [V]、線電流 \(I_l\) [A] で表してみます。

図に示す通り、Δ－Δ結線の相電圧 \(V\) は線間電圧 \(V\) に等しい。

また、相電流 \(I\) は線電流 \(I_l\) の \(\cfrac{1}{\sqrt{3}}\) 倍になります。

\(V=V_l\)

\(I=\cfrac{1}{\sqrt{3}}I_l\)

これを 次の三相電力の公式（2）に代入すると

\(P=3VI\cosθ\) [W] \(\cdots(2)\)

\(P=3×\cfrac{1}{\sqrt{3}}V_lI_l\cosθ\) [W]

三相電力の公式 \(P＝\sqrt{3}\) × 線間電圧 × 線電流 × 力率 [W] になります。

\(P=\sqrt{3}V_lI_lcosθ\) [W]

従って、三相電力の公式 \(P\) は平衡三相回路の Y－Y結線、Δ－Δ結線のような負荷の結線方式には、関係なく同じ式で求めることができます。

三相交流回路の電力を「三相電力」という

ここでは、三相電力の公式の求め方を説明します。

三相電力を求める手順

1. 各相の瞬時電力を求める。
2. 各相の瞬時電力の和が三相電力になる。
3. ただし、この三相電力は、相電圧と相電流を計算したものになる。
4. 三相電力を 線間電圧 と 線電流 の計算式に直す。

上図の平衡三相回路において、相電圧（実効値）を \(V\) [V]、相電流を \(I\) [A]、相電圧と相電流の位相差を \(θ\) [rad]　とすると、各相の瞬時電圧 \(v_a、v_b、v_c\) と瞬時電流 \(i_a、i_b、i_c\) は次のとおりです。　

●各瞬時値

\(v_a=\sqrt{2}V\sinωt\) \(\cdots(1)\)

\(v_b=\sqrt{2}V\sin(ωt-\cfrac{2π}{3})\) \(\cdots(2)\)

\(v_c=\sqrt{2}V\sin(ωt-\cfrac{4π}{3})\) \(\cdots(3)\)

\(i_a=\sqrt{2}I\sin(ωt-θ)\) \(\cdots(4)\)

\(i_b=\sqrt{2}I\sin(ωt-\cfrac{2π}{3}-θ)\) \(\cdots(5)\)

\(i_c=\sqrt{2}I\sin(ωt-\cfrac{4π}{3}-θ)\) \(\cdots(6)\)

\(i_0=i_a+i_b+i_c=0\) \(\cdots(7)\)

三相電力は各瞬時値の和になる

各相の瞬時電力を求める

各相の瞬時電力 \(P_a、P_b、P_c\) は、各瞬時電圧 \(v\) と瞬時電流 \(i\) の積で求めることができます。

\(P_a=v_ai_a\) [W]

\(P_b=v_bi_b\) [W]

\(P_c=v_ci_c\) [W]

したがって、三相電力 \(P\) は

\(P=P_a+P_b+P_c\)

前項の瞬時値を入れて、各相の瞬時電力 \(P_a、P_b、P_c\) を計算してみます。

●\(P_a\) を求める

\(P_a=v_ai_a\)＝\(\sqrt{2}V\sinωt×\sqrt{2}I\sin(ωt-θ)\)

\(P_a=2VI\sinωt\cdot\sin(ωt-θ)\) \(\cdots(a-1)\)

三角関数の公式から

\(\sinα\cdot\sinβ\)＝\(\cfrac{1}{2}\{\cos(α-β)-\cos(α+β)\)

\(α=ωt　β=ωt-θ\) とおいて、式(a-1)に代入する。

\(P_a\)＝\(2VI×\cfrac{1}{2}[\cos\{ωt-(ωt-θ)\}\)－\(\cos\{ωt+(ωt-θ)\}]\)

\(P_a=VI \cosθ-VI\cos(2ωt-θ)\) \(\cdots(a-2)\)

●\(P_b\) を求める

\(P_b=v_bi_b\)＝\(\sqrt{2}V\sin(ωt-\cfrac{2π}{3})×\sqrt{2}I\sin(ωt-\cfrac{2π}{3}-θ)\)

\(P_b\)＝\(2VI\sin(ωt-\cfrac{2π}{3})\cdot\sin(ωt-\cfrac{2π}{3}-θ)\) \(\cdots(b-1)\)

三角関数の公式から

\(\sinα\cdot\sinβ\)＝\(\cfrac{1}{2}\{\cos(α-β)-\cos(α+β)\}\)

\(α=ωt-\cfrac{2π}{3}　β=ωt-\cfrac{2π}{3}-θ\) とおいて、式(b-1)に代入する。

\(P_b\)＝\(2VI×\cfrac{1}{2}[\cos\{(ωt-\cfrac{2π}{3})-(ωt-\cfrac{2π}{3}-θ)\}\)－\(\cos\{(ωt-\cfrac{2π}{3})+(ωt-\cfrac{2π}{3}-θ)\}]\)

\(P_b\)＝\(VI \cosθ-VI\cos(2ωt-\cfrac{4π}{3}-θ)\) \(\cdots(b-2)\)

三角関数の公式から

\(\cos(α-β)\)＝\(\cosα\cdot\cosβ+\sinα\cdot\sinβ\)

\(α=2ωt-θ　β=\cfrac{4π}{3}\) とおいて、式(b-2)に代入する。

\(P_b\)＝\(VI \cosθ-VI\{\cos(2ωt-θ)\cdot\cos\cfrac{4π}{3}\)＋\(\sin(2ωt-θ)\cdot\sin\cfrac{4π}{3}\}\)

\(P_b\)＝\(VI \cosθ-VI\{\cos(2ωt-θ)\cdot(-\cfrac{1}{2})\)＋\(\sin(2ωt-θ)\cdot(-\cfrac{\sqrt{3}}{2})\}\)

\(P_b\)＝\(VI \cosθ+\cfrac{1}{2}VI\cos(2ωt-θ)\)＋\(\cfrac{\sqrt{3}}{2}\sin(2ωt-θ)\) \(\cdots(b-3)\)

●\(P_c\) を求める

\(P_c=v_ci_c\)＝\(\sqrt{2}V\sin(ωt-\cfrac{4π}{3})×\sqrt{2}I\sin(ωt-\cfrac{4π}{3}-θ)\)

\(P_c\)＝\(2VI\sin(ωt-\cfrac{4π}{3})\cdot\sin(ωt-\cfrac{4π}{3}-θ)\) \(\cdots(c-1)\)

三角関数の公式から

\(\sinα\cdot\sinβ\)＝\(\cfrac{1}{2}\{\cos(α-β)-\cos(α+β)\}\)

\(α=ωt-\cfrac{4π}{3}　β=ωt-\cfrac{4π}{3}-θ\) とおいて、式(c-1)に代入する。

\(P_c\)＝\(2VI×\cfrac{1}{2}[\cos\{(ωt-\cfrac{4π}{3})-(ωt-\cfrac{4π}{3}-θ)\}\)－\(\cos\{(ωt-\cfrac{4π}{3})+(ωt-\cfrac{4π}{3}-θ)\}]\)

\(P_c\)＝\(VI \cosθ-VI\cos(2ωt-\cfrac{8π}{3}-θ)\) \(\cdots(c-2)\)

三角関数の公式から

\(\cos(α-β)\)＝\(\cosα\cdot\cosβ+\sinα\cdot\sinβ\)

\(α=2ωt-θ　β=\cfrac{8π}{3}\) とおいて、式(c-2)に代入する。

\(P_c\)＝\(VI \cosθ-VI\{\cos(2ωt-θ)\cdot\cos\cfrac{8π}{3}\)＋\(\sin(2ωt-θ)\cdot\sin\cfrac{8π}{3}\}\)

\(P_c\)＝\(VI \cosθ-VI\{\cos(2ωt-θ)\cdot(-\cfrac{1}{2})\)＋\(\sin(2ωt-θ)\cdot(\cfrac{\sqrt{3}}{2})\}\)

\(P_c\)＝\(VI \cosθ+\cfrac{1}{2}VI\cos(2ωt-θ)\)－\(\cfrac{\sqrt{3}}{2}\sin(2ωt-θ)\) \(\cdots(c-3)\)

三相電力は単相電力の3倍になる

上で求めた瞬時電力を、用いて三相電力を計算する。

各相の瞬時電力の合計

\(P=P_a+P_b+P_c\)

\(P_a=VI \cosθ-VI\cos(2ωt-θ)\) \(\cdots(a-2)\)

\(P_b\)＝\(VI \cosθ+\cfrac{1}{2}VIcos(2ωt-θ)\)＋\(\cfrac{\sqrt{3}}{2}\sin(2ωt-θ)\) \(\cdots(b-3)\)

\(P_c\)＝\(VI \cosθ+\cfrac{1}{2}VI\cos(2ωt-θ)\)－\(\cfrac{\sqrt{3}}{2}\sin(2ωt-θ)\) \(\cdots(c-3)\)

三相電力＝3 × 相電圧 × 相電流 × 力率 [W] となる。

\(P=3VI\cosθ\) [W]

単相交流回路の電力は \(VI\cosθ\) ですから、三相電力は単相電力を 3倍したものになります。

三相電力の演習問題

演習問題　1

演習問題　2

以上で「三相電力の公式」の説明を終わります。