三相電力の公式

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三相電力の公式

三相交流回路の計算をする場合には、三相電力の公式\(P=\sqrt{3}VI\cosθ\)を使います。

ここでは、三相電力の公式の算出の方法を、スター結線とデルタ結線の場合について説明しています。

三相電力の公式は相電圧と相電流を使う場合は、\(P=3VI\cosθ\)になります。

平衡三相回路の線間電圧 \(V_l\) 、線電流 \(I_l\) 、力率 \(\cosθ\) としたときの 三相電力の公式 \(P\) は、次の式で表されます。

$$P=\sqrt{3}V_lI_l\cosθ[W] \tag{4-1-9-1}$$
 
また、平衡三相回路の相電圧 \(V\) 、相電流 \(I\) 、力率 \(cosθ\) としたときの三相電力の公式 \(P\) は、次のように単相電力の 3倍になります。

$$P=3VI\cosθ[W] \tag{4-1-9-2}$$

平衡三相Y-Y結線の三相電力の公式

平衡三相Y-Y結線の三相電力の公式 \(P [W]\) を、線間電圧 \(V_l [V]\) 、線電流 \(I_l [A]\) で表してみます。

図に示す通り、Y-Y結線の相電圧 \(V\) は線間電圧 \(V_l\) の \(\cfrac{1}{\sqrt{3}}\) 倍、また、相電流 \(I\) は線電流 \(I_l\) と等しいので

\(V=\cfrac{1}{\sqrt{3}}V_l\)

\(I=I_l\)

これを 三相電力の公式(4-1-9-2)に代入すると

$$P=3VI\cosθ [W]\tag{4-1-9-2}$$

\(P=3×\cfrac{1}{\sqrt{3}}V_lI_l\cosθ[W]\)

三相電力の公式 $P=\sqrt{3}$×線間電圧×線電流×力率[W] になります。

$$P=\sqrt{3}V_lI_l\cosθ[W]\tag{4-1-9-1}$$

平衡三相回路の三相電力を線間電圧と線電流で計算する場合は式(4-1-9-1)を用います。

平衡三相Δ-Δ結線の三相電力の公式

では、デルタ結線の回路ではどうなるでしょう。

同じく、平衡三相Δ-Δ結線の三相電力 \(P [W]\) 、線間電圧 \(V_l [V]\) 、線電流 \(I_l [A]\) で表してみます。

図に示す通り、Δ-Δ結線の相電圧 \(V\) は線間電圧 \(V\) に等しい、また、相電流 \(I\) は線電流 \(I_l\) の \(\cfrac{1}{\sqrt{3}}\) 倍になります。

\(V=V_l\)

\(I=\cfrac{1}{\sqrt{3}}I_l\)

これを 三相電力の公式(4-1-9-2)に代入すると

$$P=3VI\cosθ[W]\tag{4-1-9-2}$$

\(P=3×\cfrac{1}{\sqrt{3}}V_lI_l\cosθ[W]\)

三相電力の公式 \(P=\sqrt{3}\)×線間電圧×線電流×力率[W] になります。

$$P=\sqrt{3}V_lI_lcosθ[W]\tag{4-1-9-1}$$

従って、三相電力の公式 \(P\) は平衡三相回路のY-Y結線、Δ-Δ結線のような負荷の結線方式には、関係なく同じ式で求めることができます。

三相交流回路の電力を「三相電力」という

ここでは、三相電力の公式の求め方を説明します。

三相電力を求める手順

  1. 各相の瞬時電力を求める。
  2. 各相の瞬時電力の和が三相電力になる。
  3. ただし、この三相電力は、相電圧と相電流を計算したものになる。
  4. 三相電力を線間電圧線電流の計算式に直す。

上図の平衡三相回路において、相電圧(実効値)を \(V [V]\) 、相電流を \(I [A]\) 、相電圧と相電流の位相差を \(θ [rad]\) とすると、各相の瞬時電圧 \(v_a、v_b、v_c\) と瞬時電流 \(i_a、i_b、i_c\) は次のとおりです。 

●各瞬時値

\(v_a=\sqrt{2}V\sinωt \tag{1}\)

\(v_b=\sqrt{2}V\sin(ωt-\cfrac{2π}{3}) \tag{2}\)

\(v_c=\sqrt{2}V\sin(ωt-\cfrac{4π}{3}) \tag{3}\)

\(i_a=\sqrt{2}I\sin(ωt-θ) \tag{4}\)

\(i_b=\sqrt{2}I\sin(ωt-\cfrac{2π}{3}-θ) \tag{5}\)

\(i_c=\sqrt{2}I\sin(ωt-\cfrac{4π}{3}-θ) \tag{6}\)

\(i_0=i_a+i_b+i_c=0 \tag{7}\)

三相電力は各瞬時値の和になる

各相の瞬時電力を求める

各相の瞬時電力 \(P_a、P_b、P_c\)  は、各瞬時電圧 \(v\) と瞬時電流 \(i\) の積で求めることができます。

$$P_a=v_ai_a[W]$$

$$P_b=v_bi_b[W]\tag{8}$$

$$P_c=v_ci_c[W]$$

したがって、三相電力 \(P\) は

\(P=P_a+P_b+P_c \tag{9}\)

前項の瞬時値を入れて、各相の瞬時電力 \(P_a、P_b、P_c\) を計算してみます。

●\(P_a\) を求める

\(P_a=v_ai_a=\sqrt{2}V\sinωt×\sqrt{2}I\sin(ωt-θ)\)

\(P_a=2VI\sinωt\cdot\sin(ωt-θ)\tag{a-1}\)

三角関数の公式から

\(\sinα\cdot\sinβ\)

\(\qquad=\cfrac{1}{2}\{\cos(α-β)-\cos(α+β)\)

\(α=ωt β=ωt-θ\) とおいて、式(a-1)に代入する。

\(P_a=2VI×\cfrac{1}{2}[\cos\{ωt-(ωt-θ)\}\)

\(\qquad-\cos\{ωt+(ωt-θ)\}]\)

\(P_a=VI \cosθ-VI\cos(2ωt-θ)\tag{a-2}\)

●\(P_b\) を求める

\(P_b=v_bi_b=\sqrt{2}V\sin(ωt-\cfrac{2π}{3})\)

\(\qquad×\sqrt{2}I\sin(ωt-\cfrac{2π}{3}-θ)\)

\(P_b=2VI\sin(ωt-\cfrac{2π}{3})\)

\(\qquad\cdot\sin(ωt-\cfrac{2π}{3}-θ)\tag{b-1}\)

三角関数の公式から

\(\sinα\cdot\sinβ=\cfrac{1}{2}\{\cos(α-β)-\cos(α+β)\}\)

\(α=ωt-\cfrac{2π}{3} β=ωt-\cfrac{2π}{3}-θ\) とおいて、式(b-1)に代入する。

\(P_b=2VI×\cfrac{1}{2}[\cos\{(ωt-\cfrac{2π}{3})\)

\(\qquad-(ωt-\cfrac{2π}{3}-θ)\}-\cos\{(ωt-\cfrac{2π}{3})\)

\(\qquad+(ωt-\cfrac{2π}{3}-θ)\}]\)

\(P_b=VI \cosθ-VI\cos(2ωt-\cfrac{4π}{3}-θ)\)
\(\qquad\tag{b-2}\)

三角関数の公式から

\(\cos(α-β)=\cosα\cdot\cosβ+\sinα\cdot\sinβ\)

\(α=2ωt-θ β=\cfrac{4π}{3}\) とおいて、式(b-2)に代入する。

\(P_b=VI \cosθ-VI\{\cos(2ωt-θ)\)

\(\qquad\cdot\cos\cfrac{4π}{3}+\sin(2ωt-θ)\cdot\sin\cfrac{4π}{3}\}\)

\(P_b=VI \cosθ-VI\{\cos(2ωt-θ)\)

\(\qquad\cdot(-\cfrac{1}{2})+\sin(2ωt-θ)\cdot(-\cfrac{\sqrt{3}}{2})\}\)

\(P_b=VI \cosθ+\cfrac{1}{2}VI\cos(2ωt-θ)\)

\(\qquad+\cfrac{\sqrt{3}}{2}\sin(2ωt-θ)\tag{b-3}\)

●\(P_c\) を求める

\(P_c=v_ci_c=\sqrt{2}V\sin(ωt-\cfrac{4π}{3})\)

\(\qquad×\sqrt{2}I\sin(ωt-\cfrac{4π}{3}-θ)\)

\(P_c=2VI\sin(ωt-\cfrac{4π}{3})\)

\(\qquad\cdot\sin(ωt-\cfrac{4π}{3}-θ)\tag{c-1}\)

三角関数の公式から

\(\sinα\cdot\sinβ=\cfrac{1}{2}\{\cos(α-β)-\cos(α+β)\}\)

\(α=ωt-\cfrac{4π}{3} β=ωt-\cfrac{4π}{3}-θ\) とおいて、式(c-1)に代入する。

\(P_c=2VI×\cfrac{1}{2}[\cos\{(ωt-\cfrac{4π}{3})\)

\(\qquad-(ωt-\cfrac{4π}{3}-θ)\}-\cos\{(ωt-\cfrac{4π}{3})\)

\(\qquad+(ωt-\cfrac{4π}{3}-θ)\}]\)

\(P_c=VI \cosθ-VI\cos(2ωt-\cfrac{8π}{3}-θ)\)
\(\qquad\tag{c-2}\)

三角関数の公式から

$$\cos(α-β)=\cosα\cdot\cosβ+\sinα\cdot\sinβ$$

\(α=2ωt-θ β=\cfrac{8π}{3}\) とおいて、式(c-2)に代入する。

\(P_c=VI \cosθ-VI\{\cos(2ωt-θ)\)

\(\qquad\cdot\cos\cfrac{8π}{3}+\sin(2ωt-θ)\cdot\sin\cfrac{8π}{3}\}\)

\(P_c=VI \cosθ-VI\{\cos(2ωt-θ)\)

\(\qquad\cdot(-\cfrac{1}{2})+\sin(2ωt-θ)\cdot(\cfrac{\sqrt{3}}{2})\}\)

\(P_c=VI \cosθ+\cfrac{1}{2}VI\cos(2ωt-θ)\)

\(\qquad-\cfrac{\sqrt{3}}{2}\sin(2ωt-θ)\tag{c-3}\)

三相電力は単相電力の3倍になる

上で求めた瞬時電力を、用いて三相電力を計算する。

各相の瞬時電力の合計

\(P=P_a+P_b+P_c\)

\(P_a=VI \cosθ-VI\cos(2ωt-θ)\tag{a-2}\)

\(P_b=VI \cosθ+\cfrac{1}{2}VIcos(2ωt-θ)\)

\(\qquad+\cfrac{\sqrt{3}}{2}\sin(2ωt-θ)\tag{b-3}\)

\(P_c=VI \cosθ+\cfrac{1}{2}VI\cos(2ωt-θ)\)

\(\qquad-\cfrac{\sqrt{3}}{2}\sin(2ωt-θ)\tag{c-3}\)

三相電力=3×相電圧×相電流×力率 [W] となる。

$$P=3VI\cosθ[W]\tag{4-1-9-2}$$

単相交流回路の電力は$VI\cosθ\) ですから、三相電力は単相電力を3倍したものになります。

平衡三相回路の三相電力を相電圧と相電流で計算する場合は式(4-1-9-2)を用います。

三相電力の演習問題

演習問題 1

ここをクリックで解答の表示・非表示

解 答

・平衡三相Δ結線負荷の三相電力Pは、公式から
$$P=\sqrt{3}V_lI_l\cosθ$$

$$P=\sqrt{3}×100×5×0.6≒520[W]$$

演習問題 2

ここをクリックで解答の表示・非表示

解 答

・平衡三相Y結線負荷の線電流は相電流と等しいので、相電流を求める。

相電流は相電圧をインピーダンスで割れば良いので、

線電流=相電流=\(\cfrac{相電圧}{インピーダンス}\)

線電流\(I_l=\cfrac{100}{\sqrt{3}}×\cfrac{1}{5}=\cfrac{20}{\sqrt{3}} {A}\)

\(P=\sqrt{3}×100×\cfrac{20}{\sqrt{3}}×\cfrac{1}{2}=1000[W]\)

ただし、\(\cos\cfrac{π}{3}=\cfrac{1}{2}\)

以上で「三相電力の公式」の説明を終わります。

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