不平衡三相負荷のY-Δ変換公式の求め方




各負荷のインピーダンスの大きさが異なる、「不平衡三相負荷」のY-Δ変換について説明します。

前の記事で算出した式を利用します。

不平衡三相負荷のΔ-Y変換公式の求め方

2018.03.17

算出した式は次のとおりです。

●Δ負荷をY負荷に変換したインピーダンスの値

\(\dot{Z_{a}}=\cfrac{\dot{Z_{ab}}\dot{Z_{ca}}}{\dot{Z_{ab}}+\dot{Z_{bc}}+\dot{Z_{ca}}}\) [Ω] \(\cdots(11)\)

\(\dot{Z_{b}}=\cfrac{\dot{Z_{ab}}\dot{Z_{bc}}}{\dot{Z_{ab}}+\dot{Z_{bc}}+\dot{Z_{ca}}}\) [Ω] \(\cdots(13)\)

\(\dot{Z_{c}}=\cfrac{\dot{Z_{bc}}\dot{Z_{ca}}}{\dot{Z_{ab}}+\dot{Z_{bc}}+\dot{Z_{ca}}}\) [Ω] \(\cdots(15)\)

Y結線負荷の各相を乗算する

式(11)と式(13)と式(15)を使って、\(\dot{Z_a}\dot{Z_b}\) 、\(\dot{Z_b}\dot{Z_c}\) 、\(\dot{Z_c}\dot{Z_a}\) を求めます。

●\(\dot{Z_a}\dot{Z_b}\) を求めます。

\(\dot{Z_{a}}=\cfrac{\dot{Z_{ab}}\dot{Z_{ca}}}{\dot{Z_{ab}}+\dot{Z_{bc}}+\dot{Z_{ca}}}\) [Ω] \(\cdots(11)\)

\(\dot{Z_{b}}=\cfrac{\dot{Z_{ab}}\dot{Z_{bc}}}{\dot{Z_{ab}}+\dot{Z_{bc}}+\dot{Z_{ca}}}\) [Ω] \(\cdots(13)\)

式(11)と式(13)の両辺を乗算します。

\(\dot{Z_a}\dot{Z_b}\)=\(\cfrac{\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{ca}}{\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca}}×\cfrac{\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{bc}}{\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca}}\)=\(\cfrac{{\dot{Z}_{ab}}^2\dot{Z}_{ca}\dot{Z}_{bc}}{(\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca})^2}\) [Ω] \(\cdots(16)\)

●\(\dot{Z_b}\dot{Z_c}\) を求めます。

\(\dot{Z_{b}}=\cfrac{\dot{Z_{ab}}\dot{Z_{bc}}}{\dot{Z_{ab}}+\dot{Z_{bc}}+\dot{Z_{ca}}}\) [Ω] \(\cdots(13)\)

\(\dot{Z_{c}}=\cfrac{\dot{Z_{bc}}\dot{Z_{ca}}}{\dot{Z_{ab}}+\dot{Z_{bc}}+\dot{Z_{ca}}}\) [Ω] \(\cdots(15)\)

式(13)と式(15)の両辺を乗算します。

\(\dot{Z_b}\dot{Z_c}\)=\(\cfrac{\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{bc}}{\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca}}×\cfrac{\dot{Z}_{bc}\dot{Z}_{ca}}{\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca}}\)=\(\cfrac{{\dot{Z}_{bc}}^2\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{ca}}{(\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca})^2}\) [Ω] \(\cdots(17)\)

●\(\dot{Z_c}\dot{Z_a}\) を求めます。

\(\dot{Z}_c=\cfrac{\dot{Z}_{bc}\dot{Z}_{ca}}{\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca}}\) [Ω] \(\cdots(15)\)

\(\dot{Z}_a=\cfrac{\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{ca}}{\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca}}\) [Ω] \(\cdots(11)\)

式(15)と式(11)の両辺を乗算します。

\(\dot{Z_c}\dot{Z_a}\)=\(\cfrac{\dot{Z}_{bc}\dot{Z}_{ca}}{\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca}}×\cfrac{\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{ca}}{\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca}}\)=\(\cfrac{{\dot{Z}_{ca}}^2\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{bc}}{(\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca})^2}\) [Ω] \(\cdots(18)\)

Δ負荷に変換した値を求める

式(16)、式(17)、式(18)の両辺を共に加算する。

\(\dot{Z_a}\dot{Z_b}+\dot{Z_b}\dot{Z_c}+\dot{Z_c}\dot{Z_a}\)=\(\cfrac{\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{bc}\dot{Z}_{ca}(\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca})}{(\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca})^2}\)=\(\cfrac{\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{bc}\dot{Z}_{ca}}{\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca}}\) \(\cdots(19)\)

●Zabを求める
\(\dot{Z_a}\dot{Z_b}+\dot{Z_b}\dot{Z_c}+\dot{Z_c}\dot{Z_a}\)=\(\cfrac{\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{bc}\dot{Z}_{ca}}{\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca}}\) \(\cdots(19)\)

\(\dot{Z}_c=\cfrac{\dot{Z}_{bc}\dot{Z}_{ca}}{\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca}}\) [Ω] \(\cdots(15)\)

式(19)の両辺を(15)式の両辺で除算する。

\(\cfrac{\dot{Z_a}\dot{Z_b}+\dot{Z_b}\dot{Z_c}+\dot{Z_c}\dot{Z_a}}{\dot{Z_c}}\)=\(\cfrac{\cfrac{\dot{Z_{ab}}\dot{Z_{bc}}\dot{Z_{ca}}}{\dot{Z_{ab}}+\dot{Z_{bc}}+\dot{Z_{ca}}}}{\cfrac{\dot{Z_{bc}}\dot{Z_{ca}}}{\dot{Z_{ab}}+\dot{Z_{bc}}+\dot{Z_{ca}}}}\)

\(\dot{Z}_{ab}\)=\(\cfrac{\dot{Z_a}\dot{Z_b}+\dot{Z_b}\dot{Z_c}+\dot{Z_c}\dot{Z_a}}{\dot{Z_c}}\) [Ω]

●Zbcを求める

\(\dot{Z_a}\dot{Z_b}+\dot{Z_b}\dot{Z_c}+\dot{Z_c}\dot{Z_a}\)=\(\cfrac{\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{bc}\dot{Z}_{ca}}{\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca}}\) \(\cdots(19)\)

\(\dot{Z}_a=\cfrac{\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{ca}}{\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca}}\) [Ω] \(\cdots(11)\)

式(19)の両辺を式(11)の両辺で除算する。

\(\cfrac{\dot{Z_a}\dot{Z_b}+\dot{Z_b}\dot{Z_c}+\dot{Z_c}\dot{Z_a}}{\dot{Z_a}}\)=\(\cfrac{\cfrac{\dot{Z_{ab}}\dot{Z_{bc}}\dot{Z_{ca}}}{\dot{Z_{ab}}+\dot{Z_{bc}}+\dot{Z_{ca}}}}{\cfrac{\dot{Z_{ab}}\dot{Z_{ca}}}{\dot{Z_{ab}}+\dot{Z_{bc}}+\dot{Z_{ca}}}}\)

\(\dot{Z}_{bc}=\cfrac{\dot{Z_a}\dot{Z_b}+\dot{Z_b}\dot{Z_c}+\dot{Z_c}\dot{Z_a}}{\dot{Z_a}}\) [Ω]

●Zcaを求める
\(\dot{Z_a}\dot{Z_b}+\dot{Z_b}\dot{Z_c}+\dot{Z_c}\dot{Z_a}\)=\(\cfrac{\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{bc}\dot{Z}_{ca}}{\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca}}\) \(\cdots(19)\)

\(\dot{Z_{b}}=\cfrac{\dot{Z_{ab}}\dot{Z_{bc}}}{\dot{Z_{ab}}+\dot{Z_{bc}}+\dot{Z_{ca}}}\) [Ω] \(\cdots(13)\)

式(19)の両辺を式(13)の両辺で除算する。

\(\cfrac{\dot{Z_a}\dot{Z_b}+\dot{Z_b}\dot{Z_c}+\dot{Z_c}\dot{Z_a}}{\dot{Z_b}}\)=\(\cfrac{\cfrac{\dot{Z_{ab}}\dot{Z_{bc}}\dot{Z_{ca}}}{\dot{Z_{ab}}+\dot{Z_{bc}}+\dot{Z_{ca}}}}{\cfrac{\dot{Z_{ab}}\dot{Z_{bc}}}{\dot{Z_{ab}}+\dot{Z_{bc}}+\dot{Z_{ca}}}}\)

\(\dot{Z}_{ca}=\cfrac{\dot{Z_a}\dot{Z_b}+\dot{Z_b}\dot{Z_c}+\dot{Z_c}\dot{Z_a}}{\dot{Z_b}}\) [Ω] となります。

不平衡の Y負荷を Δ負荷に変換した時の Δ負荷の値

Y負荷を Δ負荷に変換した時の、各相の Δ負荷の値は、次のようになります。

\(\dot{Z_{ab}}=\cfrac{\dot{Z_{a}}\dot{Z_{b}}+\dot{Z_{b}}\dot{Z_{c}}+\dot{Z_{c}}\dot{Z_{a}}}{\dot{Z_{c}}}\) [Ω]

\(\dot{Z_{ab}}=\cfrac{\dot{Z_{a}}\dot{Z_{b}}+\dot{Z_{b}}\dot{Z_{c}}+\dot{Z_{c}}\dot{Z_{a}}}{\dot{Z_{a}}}\) [Ω]

\(\dot{Z_{ab}}=\cfrac{\dot{Z_{a}}\dot{Z_{b}}+\dot{Z_{b}}\dot{Z_{c}}+\dot{Z_{c}}\dot{Z_{a}}}{\dot{Z_{b}}}\) [Ω]

以上で「不平衡三相負荷のY-Δ変換公式の求め方」の説明を終わります。




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