不平衡三相負荷のY-Δ変換

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不平衡三相負荷のY-Δ変換

不平衡三相交流回路の計算をする時に、電源側と負荷側の結線が異なる場合は計算をすることは簡単ではありません。

ここでは、不平衡三相負荷の場合について、Δ-Y結線の、Y結線負荷をΔ結線負荷に変換してΔ-Δ結線負荷として計算をします。

各負荷のインピーダンスの大きさが異なる、「不平衡三相負荷」のY-Δ変換について説明します。

ここでは、前の記事の「不平衡三相負荷のΔ-Y変換」で算出した式を利用します。

不平衡のY負荷をΔ負荷に変換した時のΔ負荷の値

Y負荷をΔ負荷に変換した時の、各相のΔ負荷の値は、次のようになります。

$$\dot{Z_{ab}}=\cfrac{\dot{Z_{a}}\dot{Z_{b}}+\dot{Z_{b}}\dot{Z_{c}}+\dot{Z_{c}}\dot{Z_{a}}}{\dot{Z_{c}}}[Ω]$$

$$\dot{Z_{ab}}=\cfrac{\dot{Z_{a}}\dot{Z_{b}}+\dot{Z_{b}}\dot{Z_{c}}+\dot{Z_{c}}\dot{Z_{a}}}{\dot{Z_{a}}}[Ω]\tag{4-1-5-4}$$

$$\dot{Z_{ab}}=\cfrac{\dot{Z_{a}}\dot{Z_{b}}+\dot{Z_{b}}\dot{Z_{c}}+\dot{Z_{c}}\dot{Z_{a}}}{\dot{Z_{b}}}[Ω]$$

不平衡三相負荷のY→Δ変換の説明

前の記事の「不平衡三相負荷のΔ-Y変換」で算出した式を利用します。

算出した式は次のとおりです。

Δ→Y変換後のY結線負荷インピーダンスの値

$\dot{Z_{a}}=\cfrac{\dot{Z_{ab}}\dot{Z_{ca}}}{\dot{Z_{ab}}+\dot{Z_{bc}}+\dot{Z_{ca}}}[Ω]\tag{11}$

$\dot{Z_{b}}=\cfrac{\dot{Z_{ab}}\dot{Z_{bc}}}{\dot{Z_{ab}}+\dot{Z_{bc}}+\dot{Z_{ca}}}[Ω] \tag{13}$

$\dot{Z_{c}}=\cfrac{\dot{Z_{bc}}\dot{Z_{ca}}}{\dot{Z_{ab}}+\dot{Z_{bc}}+\dot{Z_{ca}}}[Ω]\tag{15}$

●まず、$\dot{Z_a}\dot{Z_b}$ を求めます。

$\dot{Z_{a}}=\cfrac{\dot{Z_{ab}}\dot{Z_{ca}}}{\dot{Z_{ab}}+\dot{Z_{bc}}+\dot{Z_{ca}}}[Ω]\tag{11}$

$\dot{Z_{b}}=\cfrac{\dot{Z_{ab}}\dot{Z_{bc}}}{\dot{Z_{ab}}+\dot{Z_{bc}}+\dot{Z_{ca}}}[Ω] \tag{13}$

式(11)と式(13)の両辺を乗算(掛ける)する。

$\dot{Z_a}\dot{Z_b}=\cfrac{\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{ca}}{\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca}}$

$\qquad×\cfrac{\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{bc}}{\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca}}$

$\dot{Z_a}\dot{Z_b}=\cfrac{{\dot{Z}_{ab}}^2\dot{Z}_{ca}\dot{Z}_{bc}}{(\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca})^2}[Ω]\tag{16}$

●次に、$\dot{Z_b}\dot{Z_c}$ を求めます。

$\dot{Z_{b}}=\cfrac{\dot{Z_{ab}}\dot{Z_{bc}}}{\dot{Z_{ab}}+\dot{Z_{bc}}+\dot{Z_{ca}}}[Ω] \tag{13}$

$\dot{Z_{c}}=\cfrac{\dot{Z_{bc}}\dot{Z_{ca}}}{\dot{Z_{ab}}+\dot{Z_{bc}}+\dot{Z_{ca}}}[Ω]\tag{15}$

式(13)と式(15)の両辺を乗算(掛ける)する。

$\dot{Z_b}\dot{Z_c}=\cfrac{\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{bc}}{\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca}}$

$\qquad×\cfrac{\dot{Z}_{bc}\dot{Z}_{ca}}{\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca}}$

$\dot{Z_b}\dot{Z_c}=\cfrac{{\dot{Z}_{bc}}^2\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{ca}}{(\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca})^2}[Ω]\tag{17}$

●次に、$\dot{Z_c}\dot{Z_a}$ を求めます。

$\dot{Z}_c=\cfrac{\dot{Z}_{bc}\dot{Z}_{ca}}{\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca}}[Ω]\tag{15}$

$\dot{Z}_a=\cfrac{\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{ca}}{\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca}}[Ω]\tag{11}$

式(15)と式(11)の両辺を乗算(掛ける)する。

$\dot{Z_c}\dot{Z_a}=\cfrac{\dot{Z}_{bc}\dot{Z}_{ca}}{\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca}}$

$\qquad×\cfrac{\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{ca}}{\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca}}$

$\dot{Z_c}\dot{Z_a}=\cfrac{{\dot{Z}_{ca}}^2\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{bc}}{(\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca})^2}[Ω]\tag{18}$

★式(16)、式(17)、式(18)の両辺を共に加算する。

$\dot{Z_a}\dot{Z_b}+\dot{Z_b}\dot{Z_c}+\dot{Z_c}\dot{Z_a}$

$\qquad=\cfrac{\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{bc}\dot{Z}_{ca}(\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca})}{(\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca})^2}$

$\dot{Z_a}\dot{Z_b}+\dot{Z_b}\dot{Z_c}+\dot{Z_c}\dot{Z_a}$

$\qquad=\cfrac{\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{bc}\dot{Z}_{ca}}{\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca}}\tag{19}$

●式(19)の両辺を(15)式の両辺で除算する。

$(\dot{Z_a}\dot{Z_b}+\dot{Z_b}\dot{Z_c}+\dot{Z_c}\dot{Z_a})÷\dot{Z_c}$

$\qquad=\cfrac{\dot{Z_{ab}}\dot{Z_{bc}}\dot{Z_{ca}}}{\dot{Z_{ab}}+\dot{Z_{bc}}+\dot{Z_{ca}}}÷\cfrac{\dot{Z_{bc}}\dot{Z_{ca}}}{\dot{Z_{ab}}+\dot{Z_{bc}}+\dot{Z_{ca}}}$

$$\dot{Z}_{ab}=\cfrac{\dot{Z_a}\dot{Z_b}+\dot{Z_b}\dot{Z_c}+\dot{Z_c}\dot{Z_a}}{\dot{Z_c}}[Ω]$$

●式(19)の両辺を式(11)の両辺で除算する。

$(\dot{Z_a}\dot{Z_b}+\dot{Z_b}\dot{Z_c}+\dot{Z_c}\dot{Z_a})÷\dot{Z_a}$

$\qquad=\cfrac{\dot{Z_{ab}}\dot{Z_{bc}}\dot{Z_{ca}}}{\dot{Z_{ab}}+\dot{Z_{bc}}+\dot{Z_{ca}}}÷\cfrac{\dot{Z_{ab}}\dot{Z_{ca}}}{\dot{Z_{ab}}+\dot{Z_{bc}}+\dot{Z_{ca}}}$

$$\dot{Z}_{bc}=\cfrac{\dot{Z_a}\dot{Z_b}+\dot{Z_b}\dot{Z_c}+\dot{Z_c}\dot{Z_a}}{\dot{Z_a}}[Ω]$$

●式(19)の両辺を式(13)の両辺で除算する。

$(\dot{Z_a}\dot{Z_b}+\dot{Z_b}\dot{Z_c}+\dot{Z_c}\dot{Z_a})÷\dot{Z_b}$

$\qquad=\cfrac{\dot{Z_{ab}}\dot{Z_{bc}}\dot{Z_{ca}}}{\dot{Z_{ab}}+\dot{Z_{bc}}+\dot{Z_{ca}}}÷\cfrac{\dot{Z_{ab}}\dot{Z_{bc}}}{\dot{Z_{ab}}+\dot{Z_{bc}}+\dot{Z_{ca}}}$

$$\dot{Z}_{ca}=\frac{\dot{Z_a}\dot{Z_b}+\dot{Z_b}\dot{Z_c}+\dot{Z_c}\dot{Z_a}}{\dot{Z_b}}[Ω]$$ 
となります。

以上で「不平衡三相負荷のY-Δ変換」の説明を終わります。

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