不平衡三相負荷のΔ-Y変換




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不平衡のΔ負荷をY負荷に変換した時のY負荷の値

図は、Δ負荷をY負荷に変換した時の、各相のY負荷の値です。

\(\dot{Z_{a}}=\cfrac{\dot{Z_{ab}}\dot{Z_{ca}}}{\dot{Z_{ab}}+\dot{Z_{bc}}+\dot{Z_{ca}}}\) [Ω]

\(\dot{Z_{b}}=\cfrac{\dot{Z_{ab}}\dot{Z_{bc}}}{\dot{Z_{ab}}+\dot{Z_{bc}}+\dot{Z_{ca}}}\) [Ω]

\(\dot{Z_{c}}=\cfrac{\dot{Z_{bc}}\dot{Z_{ca}}}{\dot{Z_{ab}}+\dot{Z_{bc}}+\dot{Z_{ca}}}\) [Ω]

不平衡三相負荷のΔ-Y変換

電源側と負荷側の結線が異なる、不平衡三相交流回路の計算をする場合は、非常にむずかしくなります。

ここでは、不平衡三相負荷について、電源側と負荷側の結線が異なるときの変換について説明します。

負荷側が「Y-Δ結線」の、Δ結線負荷をY結線負荷に変換して「Y-Y結線負荷」として計算をします。

各負荷のインピーダンスの大きさが異なる、「不平衡三相負荷」のΔ→Y変換について説明します。

この場合も、考え方は平衡三相負荷の時と同じようにもとめられます。

Δ結線負荷の各端子間の合成インピーダンスを求めて、Y結線負荷の同じ端子間の合成インピーダンスと「等しい」として計算をします。

不平衡三相負荷のΔ-Y変換の説明

各端子間の合成インピーダンスを求めて、計算をしていきます。

端子AB間の合成インピーダンスを求める

Δ結線から見た合成インピーダンス

Δ結線の端子AB 間の合成インピーダンスを \(\dot{Z}_{AB}\) とすると

\(\dot{Z}_{ca}\) と \(\dot{Z}_{bc}\) の直列接続と \(\dot{Z}_{ab}\) を並列に接続した直並列接続の回路です。

従って、その合成インピーダンスは「和分の積」で求められます。

\(\dot{Z}_{AB}=\cfrac{\dot{Z}_{ab}(\dot{Z}_{ca}+\dot{Z}_{bc})}{\dot{Z}_{ab}+(\dot{Z}_{ca}+\dot{Z}_{bc})}\)=\(\cfrac{\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{ca}+\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{bc}}{\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca}}\) [Ω] \(\cdots(1)\)

Y結線から見た合成インピーダンス

Y結線負荷の端子AB 間から見た回路は、\(\dot{Z}_{a}\) と \(\dot{Z}_{b}\) の直列接続ですから、その合成インピーダンス \(\dot{Z}_{AB}\) は 

\(\dot{Z}_{AB}=\dot{Z_a}+\dot{Z_b}\) [Ω] \(\cdots(2)\)

式(1)と式(2)が等しいとすると、次のようになります。

\(\cfrac{\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{ca}+\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{bc}}{\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca}}\)=\(\dot{Z_a}+\dot{Z_b}\) [Ω] \(\cdots(3)\)

端子BC間の合成インピーダンス

端子AB 間と同様に、端子BC 間の合成インピーダンスを求めます。

Δ結線から見た合成インピーダンス

\(\dot{Z}_{BC}=\cfrac{\dot{Z}_{bc}(\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{ca})}{\dot{Z}_{bc}+(\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{ca})}\)=\(\cfrac{\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{bc}\dot{Z}_{ca}}{\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca}}\) [Ω] \(\cdots(4)\)

Y結線から見た合成インピーダンス

Y結線負荷の端子BC 間から見た回路は、\(\dot{Z}_{b}\) と \(\dot{Z}_{c}\) の直列接続ですから

その合成インピーダンス \(\dot{Z}_{BC}\) は 

\(\dot{Z}_{BC}=\dot{Z_b}+\dot{Z_c}\) [Ω] \(\cdots(5)\)

式(4)と式(5)が等しいとすると、次のようになります。

\(\cfrac{\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{bc}\dot{Z}_{ca}}{\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca}}\)=\(\dot{Z_b}+\dot{Z_c}\) [Ω] \(\cdots(6)\)

端子CA 間の合成インピーダンス

同様に、端子CA 間の合成インピーダンスを求めます。

Δ結線から見た合成インピーダンス

\(\dot{Z}_{CA}=\cfrac{\dot{Z}_{ca}(\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc})}{\dot{Z}_{ca}+(\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc})}\)=\(\cfrac{\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{ca}+\dot{Z}_{bc}\dot{Z}_{ca}}{\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca}}\) [Ω] \(\cdots(7)\)

Y結線から見た合成インピーダンス

Y結線負荷の端子CA間から見た回路は、\(\dot{Z}_{a}\) と \(\dot{Z}_{c}\) の直列接続ですから

その合成インピーダンス \(\dot{Z}_{CA}\) は

\(\dot{Z}_{CA}=\dot{Z_a}+\dot{Z_c}\) [Ω] \(\cdots(8)\)

式(7)と(8)式が等しいとすると、次のようになります。

\(\cfrac{\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{ca}+\dot{Z}_{bc}\dot{Z}_{ca}}{\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca}}\)=\(\dot{Z_a}+\dot{Z_c}\) [Ω] \(\cdots(9)\)

Δ→Y変換後の Y結線負荷 の求め方

Y結線負荷の a相 の値

●まず、\(\dot{Z}_a\) から求めます。

\(\cfrac{\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{ca}+\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{bc}}{\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca}}\)=\(\dot{Z_a}+\dot{Z_b}\) \(\cdots(3)\)

\(\cfrac{\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{ca}+\dot{Z}_{bc}\dot{Z}_{ca}}{\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca}}\)=\(\dot{Z_a}+\dot{Z_c}\) \(\cdots(9)\)

式(3)と式(9)の両辺を加算する。

\(\cfrac{2\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{ca}+\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{bc}\dot{Z}_{ca}}{\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca}}\)=\(2\dot{Z_a}+\dot{Z_b}+\dot{Z_c}\) \(\cdots(10)\)

前項で求めた式(6)

\(\cfrac{\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{bc}\dot{Z}_{ca}}{\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca}}\)=\(\dot{Z_b}+\dot{Z_c}\) \(\cdots(6)\)

ここで、\(\dot{Z_a}\) を求めるために、式(10)から式(6)の両辺を減算する。

\(\cfrac{2\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{ca}}{\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca}}=2\dot{Z}_a\)

\(\dot{Z}_a=\cfrac{\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{ca}}{\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca}}\) [Ω]

これで、\(\dot{Z}_a\) を求めることができました。

Y結線負荷の b相 の値

●次に、\(\dot{Z}_b\) を求めます。

\(\cfrac{\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{ca}+\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{bc}}{\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca}}\)=\(\dot{Z_a}+\dot{Z_b}\) \(\cdots(3)\)

\(\cfrac{\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{bc}\dot{Z}_{ca}}{\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca}}\)=\(\dot{Z_b}+\dot{Z_c}\) \(\cdots(6)\)

式(3)と式(6)の両辺を加算する。

\(\cfrac{2\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{ca}+\dot{Z}_{bc}\dot{Z}_{ca}}{\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca}}\)=\(\dot{Z_a}+2\dot{Z_b}+\dot{Z_c}\) \(\cdots(12)\)

前項で求めた式(9)

\(\cfrac{\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{ca}+\dot{Z}_{bc}\dot{Z}_{ca}}{\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca}}\)=\(\dot{Z_a}+\dot{Z_c}\) \(\cdots(9)\)

ここで、\(\dot{Z_b}\) を求めるために、式(12)から式(9)の両辺を減算する。

\(\cfrac{2\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{bc}}{\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca}}=2\dot{Z}_b\)

\(\dot{Z}_b=\cfrac{\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{bc}}{\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca}}\) [Ω]

Y結線負荷の c相 の値

●次に、\(\dot{Z}_c\) を求めます。

\(\cfrac{\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{bc}\dot{Z}_{ca}}{\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca}}\)=\(\dot{Z_b}+\dot{Z_c}\) \(\cdots(6)\)

\(\cfrac{\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{ca}+\dot{Z}_{bc}\dot{Z}_{ca}}{\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca}}\)=\(\dot{Z_a}+\dot{Z_c}\) \(\cdots(9)\)

式(6)と式(9)の両辺を加算する

\(\cfrac{2\dot{Z}_{bc}\dot{Z}_{ca}+\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{ca}}{\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca}}\)=\(\dot{Z_a}+\dot{Z_b}+2\dot{Z_c}\) \(\cdots(14)\)

前項で求めた式(3)

\(\cfrac{\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{ca}+\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{bc}}{\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca}}\)=\(\dot{Z_a}+\dot{Z_b}\) \(\cdots(3)\)

ここで、\(\dot{Z_c}\) を求めるために、式(14)から式(3)の両辺を減算する。

\(\cfrac{2\dot{Z}_{bc}\dot{Z}_{ca}}{\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca}}=2\dot{Z}_c\)

\(\dot{Z}_c=\cfrac{\dot{Z}_{bc}\dot{Z}_{ca}}{\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca}}\) [Ω]

Δ-Y変換した場合の、Y結線負荷を求めることができます。

以上で「不平衡三相負荷のΔ-Y変換」の説明を終わります。




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