不平衡三相負荷のΔ-Y変換

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不平衡三相負荷のΔ-Y変換

 

各負荷のインピーダンスの大きさが異なる、「不平衡三相負荷」のΔ→Y変換について説明します。
この場合も、考え方は平衡三相負荷の時と同じように、Δ結線負荷の各端子間の合成インピーダンスを求めて、Y結線負荷の同じ端子間の合成インピーダンスと「等しい」として計算をします。

 

不平衡のΔ負荷をY負荷に変換した時のY負荷の値
不平衡三相負荷のΔ-Y変換の説明



不平衡のΔ負荷をY負荷に変換した時のY負荷の値

 

図は、Δ負荷をY負荷に変換した時の、各相のY負荷の値です。

$$\dot{Z_{a}}=\cfrac{\dot{Z_{ab}}\dot{Z_{ca}}}{\dot{Z_{ab}}+\dot{Z_{bc}}+\dot{Z_{ca}}}[Ω]$$
$\dot{Z_{b}}=\cfrac{\dot{Z_{ab}}\dot{Z_{bc}}}{\dot{Z_{ab}}+\dot{Z_{bc}}+\dot{Z_{ca}}}[Ω] \tag{4-1-5-2}$
$$\dot{Z_{c}}=\cfrac{\dot{Z_{bc}}\dot{Z_{ca}}}{\dot{Z_{ab}}+\dot{Z_{bc}}+\dot{Z_{ca}}}[Ω]$$



不平衡三相負荷のΔ-Y変換の説明

 

各端子間の合成インピーダンスを求めて、計算をしていきます。

 

 

端子AB間の合成インピーダンスを求める

 

Δ結線から見た合成インピーダンス
Δ結線の端子AB間の合成インピーダンスを $\dot{Z}_{AB}$ とすると 、$\dot{Z}_{ca}$ と $\dot{Z}_{bc}$ の直列接続と $\dot{Z}_{ab}$ を並列に接続した直並列接続の回路です。
従って、その合成インピーダンスは「和分の積」で求められます。

 

$\dot{Z}_{AB}=\cfrac{\dot{Z}_{ab}(\dot{Z}_{ca}+\dot{Z}_{bc})}{\dot{Z}_{ab}+(\dot{Z}_{ca}+\dot{Z}_{bc})}=\cfrac{\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{ca}+\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{bc}}{\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca}}[Ω] \tag{1}$

 

Y結線から見た合成インピーダンス
Y結線負荷の端子AB間から見た回路は、$\dot{Z}_{a}$ と $\dot{Z}_{b}$ の直列接続ですから、その合成インピーダンス $\dot{Z}_{AB}$ は $\dot{Z}_{AB}=\dot{Z_a}+\dot{Z_b}[Ω]\tag{2}$

 

式(1)と式(2)が等しいとすると
$\cfrac{\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{ca}+\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{bc}}{\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca}}=\dot{Z_a}+\dot{Z_b}[Ω]\tag{3}$ となります。

 

 

端子BC間の合成インピーダンス

端子AB間と同様に、端子BC間の合成インピーダンスを求めます。

 

Δ結線から見た合成インピーダンス
$\dot{Z}_{BC}=\cfrac{\dot{Z}_{bc}(\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{ca})}{\dot{Z}_{bc}+(\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{ca})}=\cfrac{\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{bc}\dot{Z}_{ca}}{\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca}} [Ω] \tag{4}$

 

Y結線から見た合成インピーダンス
Y結線負荷の端子BC間から見た回路は、$\dot{Z}_{b}$ と $\dot{Z}_{c}$ の直列接続ですから、その合成インピーダンス $\dot{Z}_{BC}$ は $\dot{Z}_{BC}=\dot{Z_b}+\dot{Z_c}[Ω]\tag{5}$

 

式(4)と式(5)が等しいとすると
$\cfrac{\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{bc}\dot{Z}_{ca}}{\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca}}=\dot{Z_b}+\dot{Z_c}[Ω]\tag{6}$ となります。

 

 

端子CA間の合成インピーダンス

同様に、端子CA間の合成インピーダンスを求めます。

 

Δ結線から見た合成インピーダンス
$\dot{Z}_{CA}=\cfrac{\dot{Z}_{ca}(\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc})}{\dot{Z}_{ca}+(\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc})}=\cfrac{\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{ca}+\dot{Z}_{bc}\dot{Z}_{ca}}{\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca}}[Ω] \tag{7}$

 

Y結線から見た合成インピーダンス
Y結線負荷の端子CA間から見た回路は、$\dot{Z}_{a}$ と $\dot{Z}_{c}$ の直列接続ですから、その合成インピーダンス $\dot{Z}_{CA}$ は $\dot{Z}_{CA}=\dot{Z_a}+\dot{Z_c}[Ω]\tag{8}$

 

式(7)と(8)式が等しいとすると
$\cfrac{\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{ca}+\dot{Z}_{bc}\dot{Z}_{ca}}{\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca}}=\dot{Z_a}+\dot{Z_c}[Ω]\tag{9}$ となります。

 

Δ→Y変換後のY結線負荷 の求め方

 

●まず、$\dot{Z}_a$ から、求めます。
$\cfrac{\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{ca}+\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{bc}}{\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca}}=\dot{Z_a}+\dot{Z_b}\tag{3}$
$\cfrac{\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{ca}+\dot{Z}_{bc}\dot{Z}_{ca}}{\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca}}=\dot{Z_a}+\dot{Z_c}\tag{9}$
式(3)と式(9)の両辺を加算する
$\cfrac{2\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{ca}+\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{bc}\dot{Z}_{ca}}{\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca}}=2\dot{Z_a}+\dot{Z_b}+\dot{Z_c}[Ω]\tag{10}$
前項で求めた式(6)
$\cfrac{\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{bc}\dot{Z}_{ca}}{\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca}}=\dot{Z_b}+\dot{Z_c}[Ω]\tag{6}$

 

ここで、$\dot{Z_a}$を求めるために、式(10)から式(6)の両辺を減算する。
$$\cfrac{2\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{ca}}{\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca}}=2\dot{Z}_a$$
$\dot{Z}_a=\cfrac{\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{ca}}{\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca}} [Ω]\tag{11}$
これで、$\dot{Z}_a$ が求められました。

 

 

●次に、$\dot{Z}_b$ を、求めます。
$\cfrac{\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{ca}+\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{bc}}{\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca}}=\dot{Z_a}+\dot{Z_b}\tag{3}$
$\cfrac{\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{bc}\dot{Z}_{ca}}{\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca}}=\dot{Z_b}+\dot{Z_c}[Ω]\tag{6}$
(3)式と(6)式の両辺を加算する
$\cfrac{2\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{ca}+\dot{Z}_{bc}\dot{Z}_{ca}}{\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca}}=\dot{Z_a}+2\dot{Z_b}+\dot{Z_c}[Ω]\tag{12}$
前項で求めた式(9)
$\cfrac{\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{ca}+\dot{Z}_{bc}\dot{Z}_{ca}}{\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca}}=\dot{Z_a}+\dot{Z_c}\tag{9}$

 

ここで、$\dot{Z_b}$ を求めるために、式(12)から式(9)の両辺を減算する。
$$\cfrac{2\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{bc}}{\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca}}=2\dot{Z}_b$$
$\dot{Z}_b=\cfrac{\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{bc}}{\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca}}[Ω]\tag{13}$

 

 

●次に、$\dot{Z}_c$ を、求めます。
$\cfrac{\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{bc}\dot{Z}_{ca}}{\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca}}=\dot{Z_b}+\dot{Z_c}[Ω]\tag{6}$
$\cfrac{\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{ca}+\dot{Z}_{bc}\dot{Z}_{ca}}{\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca}}=\dot{Z_a}+\dot{Z_c}\tag{9}$
式(6)と式(9)の両辺を加算する
$\cfrac{2\dot{Z}_{bc}\dot{Z}_{ca}+\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{ca}}{\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca}}=\dot{Z_a}+\dot{Z_b}+2\dot{Z_c}[Ω]\tag{14}$
前項で求めた式(3)
$\cfrac{\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{ca}+\dot{Z}_{ab}\dot{Z}_{bc}}{\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca}}=\dot{Z_a}+\dot{Z_b}\tag{3}$

 

ここで、$\dot{Z_c}$を求めるために、式(14)から式(3)の両辺を減算する。
$$\cfrac{2\dot{Z}_{bc}\dot{Z}_{ca}}{\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca}=2\dot{Z}_c}$$
$\dot{Z}_c=\cfrac{\dot{Z}_{bc}\dot{Z}_{ca}}{\dot{Z}_{ab}+\dot{Z}_{bc}+\dot{Z}_{ca}}[Ω]\tag{15}$

 

以上で、Δ-Y変換した場合の、Y結線負荷を求めることができます。

 

 

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