H24年 理論 問10(RLC並列回路)

H24年 理論 問10(RLC並列回路)

問 10
図のように、\(R_1=20\) [Ω] と \(R_2=30\) [Ω] の抵抗、静電容量 \(C=\cfrac{1}{100π}\) [F] のコンデンサ、インダクタンス \(L=\cfrac{1}{4π}\) [H] のコイルからなる回路に周波数 \(f\) [Hz] 実効値 \(V\) [V] が一定の交流電圧を加えた。

\(f\)=10  [Hz] のときに \(R_1\) を流れる電流の大きさを \(I_{10Hz}\) [A]、\(f\)=10 [MHz] のときに \(R_1\) を流れる電流の大きさを \(I_{10MHz}\) [A] とする。

このとき、電流比 \(\cfrac{I_{10Hz}}{I_{10MHz}}\) の値として、最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

解 答

この問題は、周波数の異なる電圧を加えたときに、回路に流れる電流を比較する問題です。

この回路の合成インピーダンスは、\(R_2\) と \(L\) と \(C\) の並列接続に \(R_1\) が直列に接続されています。

■ 周波数 \(f\)=10 [Hz] のとき
周波数 \(f=10\) [Hz] のときの回路のインピーダンスを \(Z_{10Hz}\) [Ω] として値を求めます。

\(Z_{10Hz}=R_1+\cfrac{1}{\cfrac{1}{R_2}+\cfrac{1}{jωL}+jωC}\)

\(=R_1+\cfrac{1}{\cfrac{1}{R_2}+\cfrac{1}{j2πfL}+j2πfC}\)

\(=20+\cfrac{1}{\cfrac{1}{30}-j\cfrac{1}{5}+j\cfrac{1}{5}}=50\) [Ω]

\(R_1\) に流れる電流を \(I_{10Hz}\) [A] とすると、次のようになります。

\(I_{10Hz}=\cfrac{V}{Z_{10Hz}}=\cfrac{V}{50}\) [A]

■ 周波数 \(f\)=10 [MHz] のとき
周波数 \(f=10\) [MHz] のときの回路のインピーダンスを \(Z_{10MHz}\) [Ω] として値を求めます。

\(Z_{10MHz}\)

\(=20+\cfrac{1}{\cfrac{1}{30}-j2×10^{-7}+j2×10^5}\)

上の式のプラスから右の式 \(\cfrac{1}{\cfrac{1}{30}-j2×10^{-7}+j2×10^5}\) は非常に小さくなるので
\(Z_{10MHz}≒20\) [Ω] となる。

\(R_1\) に流れる電流を \(I_{10MHz}\) [A] とすると、次のようになります。

\(I_{10MHz}≒\cfrac{V}{Z_{10MHz}}=\cfrac{V}{20}\) [A]

したがって、電流比は
\(\cfrac{I_{10Hz}}{I_{10MHz}}=\cfrac{\cfrac{V}{50}}{\cfrac{V}{20}}=0.4\) [A]

正解は(1)になります。

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