電験三種 H9年 理論 問1(コンデンサ)

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電験三種 H9年 理論 問1(コンデンサ)


問 1 
静電容量がそれぞれ$C_1[F]、C_2[F]、及び C_3[F]$ の3個のコンデンサを図のように接続し、直流電圧$V[V]$ を加えたとき、コンデンサ$C_2$ に蓄えられる電荷の値$[C]$ として、正しいのは次のうちのどれか。

 

 

 

 

 


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問 1 
静電容量がそれぞれ$C_1[F]、C_2[F]、及び C_3[F]$ の3個のコンデンサを図のように接続し、直流電圧$V[V]$ を加えたとき、コンデンサ$C_2$ に蓄えられる電荷の値$[C]$ として、正しいのは次のうちのどれか。

 

<解答>
静電容量がそれぞれ$C_1[F]、C_2[F]、及び C_3[F]$ の3個のコンデンサを図のように接続し、直流電圧$V[V]$ を加えたとき、コンデンサ$C_2$ に蓄えられる電荷の値$[C]$ として、正しいのは次のうちのどれか。

 

<解答>
●$C_2$ にかかる電圧 $V_2$  求める。
$C_1$ にかかる電圧を $V_1$  、 $C_2、C_3$ にかかる電圧を $V_2$ とすると、
$V=V_1+V_2$ になる。

 

 

次に、$C_2とC_3$ のコンデンサの合成容量を $C_0$ とすると、並列接続なので、
$C_0=C_2+C_3$ となる。

 

この回路は、$C_1とC_0$ コンデンサの直列接続なので、$C_1$ に蓄えられる電荷を $Q[C]$ とすれば、$C_0$ に蓄えられる電荷も $Q[C]$ になります。

$C_1とC_0$ に蓄えられる電荷 $Q$ は等しいので、
  $Q=C_1V_1  Q=C_0V_2$

 

  $C_1V_1=C_0V_2\tag{1}$

 

  $V=V_1+V_2$ から

 

$V_1=V-V_2\tag{2}$
式(2)を式(1)に代入すると

 

  $C_1(V-V_2)=C_0V_2$

 

  $V_2=\cfrac{C_1V}{C_1+C_0}$

 

$V_2=\cfrac{C_1V}{C_1+C_2+C_3}\tag{3}$

 

 

●電荷を $Q_2$ を求める。
$C_2$ に蓄えられる電荷を $Q_2$ とすると

 

$Q_2=C_2V_2\tag{4}$

 

式(3)を式(4)に代入すると

 

$Q_2=\cfrac{C_1C_2V}{C_1+C_2+C_3}[C]\tag{5}$

 

正解は(4)

 

 

<補足>

$Q_3$ を求める

$Q=Q_2+Q_3$ になります。

 

ちなみに $Q_3$ は、$Q_3=C_3V_2$ となり、
式(3)を代入すると

 

$Q_3=\cfrac{C_1C_3V}{C_1+C_2+C_3}[C]\tag{6}$

 

●電荷 $Q$ を求める。
$C_1$ に蓄えられる電荷 $Q$ は、$Q=Q_2+Q_3$ になります。

 

  $Q=\cfrac{C_1C_2V}{C_1+C_2+C_3}+\cfrac{C_1C_3V}{C_1+C_2+C_3}$

 

$Q=\cfrac{C_1(C_2+C_3)V}{C_1+C_2+C_3}[C]\tag{7}$

 

 

●$V_1$ を求める。
$V_1=V-V_2$ から

 

  $V_1=V-V_2=V-\cfrac{C_1V}{C_1+C_2+C_3}$

 

  $V_1=\cfrac{(C_2+C_3)V}{C_1+C_2+C_3}$

 

 

●回路の合成静電容量$C$ を求める。
この回路は $C_1とC_0$ の直列接続なので、「和分の積」で求められます。

 

$C=\cfrac{C_1(C_2+C_3)}{C_1+C_2+C_3}[C]$

 

また、$Q=CV$ から $C=\cfrac{Q}{V}$ として求めることもできます。

 

  $C=\cfrac{C_1(C_2+C_3)V}{(C_1+C_2+C_3)V}$

 

  $C=\cfrac{C_1(C_2+C_3)}{C_1+C_2+C_3}[C]$

 

 

 

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