共振回路の特徴

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共振回路の特徴

 

共振回路には直列共振と並列共振があります

 コイルとコンデンサの構成回路において

  • 直列共振とは電圧を限りなくゼロに近づけようとする回路
  • 並列共振とは電流を限りなくゼロに近づけようとする回路のことです

直列共振とは
並列共振とは
計算例


直列共振とは

 

RLC直列回路と周波数の関係

図1のように誘導リアクタンス \(X_L(ωL)\) は周波数を0(ゼロ)から増加させていくと、\(X_L\) は周波数に比例して大きくなります。逆に容量リアクタンス \(X_C\)(絶対値)は小さくなって行きます。

 

この両者は正反対の要素を持っているので、周波数を増加させていくと途中に必ず \(ωL=1/(ωC)\) になる周波数 \(f_o\) があります。この時の周波数を共振周波数と言います。

 

このように \(ωL=1/(ωC)\) になる周波数 \(f_o\) のときのインピーダンスと電流は次のようになります。
$|Z|=\sqrt{R^2+\left(ωL-\frac{1}{ωC}\right)^2}=\sqrt{R^2+(0)^2}=R [Ω]$

 

$|I|=\cfrac{E}{Z}=\cfrac{E}{R}[A]$

 

RLC単独回路の電流と電圧の関係

 

 

RLC直列回路が共振した時

●共振時には見かけは抵抗だけの回路になります。インピーダンスは最小になります。

 

●電流は最大になります。

 

直列共振の特徴

 

共振状態になると

  • 電源から見たインピーダンスは見かけ上は抵抗だけになるので、電圧と電流は同相になります。
  • 共振状態のときはLやCの端子電圧が電源電圧より大きくなります。電圧拡大作用という現象がおきます。
  • 共振状態のときの電流の値は最大になります。

 

直列共振周波数

直列共振が起きるときの周波数は \(ωL=1/(ωC)\) という条件から共振周波数 \(f_o\) を求めることが出来ます。
  $ωL=\cfrac{1}{ωC}、  ω^2LC=1$
  $f_o^2=\cfrac{1}{(2π)^2LC}$

$f_o=\cfrac{1}{2π\sqrt{LC}} \tag{3-2-9-1}$

このようにして \(f_o\) が決まれば共振に必要なコイルとコンデンサの容量が決められます。

 

 

LとCの電圧拡大作用


RLC直列回路が共振状態になると、電源電圧より \(LやC\) の端子電圧が大きくなるという現象がおきます。その大きさがどの位になるかを図2 (a) の回路で見てみます。
共振電流を $I_o$ とすると
$I_o=\cfrac{E}{R}[A]$

 

LやCの端子電圧 $V_L、V_C$ は次のようになります。
$V_L=ωLI_o=ωL\cfrac{E}{R} [V]$

 

$V_C=\cfrac{1}{ωC}I_o=\cfrac{1}{ωC}\cfrac{E}{R}[V]$

 

共振時には \(V_LとV_C\) は大きさが等しく、方向が反対であるために合成すると、$V_L+V_C=0$ になります。

 

次に電源電圧との比をとると、次のようになります。
$\cfrac{V_L}{E}=\cfrac{ωL\cfrac{E}{R}}{E}=\cfrac{ωL}{R}$

 

$\cfrac{V_C}{E}=\cfrac{\cfrac{E}{ωCR}}{E}=\cfrac{1}{ωCR}$

 

従って

\(Lの端子電圧は \cfrac{ωL}{R} 倍 \tag{3-2-9-2} \)

 

\(Cの端子電圧は \cfrac{1}{ωCR} 倍 \tag{3-2-9-3} \)

 

この倍率を共振回路の \(Q\) 、または選択度と呼びます。

 

コイルの \(Q\)
コイルの場合、分母の巻線抵抗が小さく、分子のインダクタンスが大きいほど、この \(Q\) は大きくなるが、実際問題ではインダクタンスを大きくしようとして巻数を増やせば、抵抗も増してくる事になリます。

 

共振曲線と選択性

●電流は最大になります。

RLC直列回路において共振状態の時には、図3 のように電流が最大になります。これは見かけ上のインピーダンスが抵抗だけになるためです。共振周波数からはなれるほど電流は減少します。

 

この様子を示したものを共振曲線または、共振特性といいます。

 

図の曲線に見られるように、\(f_o\) だけをよく通し、\(f_o\) 以外の電流は流しにくいことになる。

 

このような現象を選択性があるといいます。テレビやラジオで選局するのもこの応用です。

 

この共振現象を利用してテレビやラジオの選局をすることを同調させるといいます。


並列共振とは

 

並列回路のコイルとコンデンサに流れる電流


並列回路の電流 $I_L、I_C$ を求めると、次のようになります。
$I_L=\cfrac{E}{jωL}$、 $I_C=\cfrac{E}{-j\cfrac{1}{ωC}}$
この式で分母が $ωL=\cfrac{1}{ωC}$ になると $I_L=-I_C$ となります。

 

従って、電源電流 $I$ は、両者の和になるので理論上は ゼロになります。

 

LC並列回路で、$I$ がゼロに近くなる時(LやCの抵抗分を考えない場合) を並列共振または電流共振といいます。 

 

共振周波数

LやCの抵抗分を考えない場合は、直列共振の時と同じように $ωL={\Large\frac{1}{ωC}}$ から  

 

共振周波数は次のように直列共振周波数とほぼ同じになリます。

\(f_o=\cfrac{1}{2π\sqrt{LC}} \tag{3-2-9-1} \)

 

並列共振の場合は電源の電流 $I$ よりも $L$や$C$ に流れる電流 $I_L$や$I_C$ の方が大きくなります。

 

したがって、並列共振を知るには電源に入れた電流計の値が最小になることで知ることができます。


計算例

 

例 題-直列共振

 

$R=10 [Ω]、L=10π [mH]、C=π/4 [μF]$ のRLC直列回路に
$E=10 [V]$の交流電圧を加えたとき、共振時に L,C 両端の電圧は何 [V] になるか求めよ。
$(π^2 \fallingdotseq 10とする。)$

 

解答
$f_o=\cfrac{1}{2π\sqrt{LC}}=\cfrac{1}{2π\sqrt{10π×10^{-3}×(π/4)×10^{-6}}}$

 

$=\cfrac{1}{π^2×10^{-4}}=\cfrac{10000}{10}=1000[Hz]$

 

$I_o=\cfrac{E}{Z}=\cfrac{E}{R}=\cfrac{10}{10}=1[A]$

 

$X_L=ωL=2πfL=2π×10^3×10π×10^{-3}=200[Ω]$

 

$X_C=\cfrac{1}{ωC}=\cfrac{1}{2πfC}=\cfrac{1}{2π×10^3×(π/4)×10^{-6}}=200[Ω]$

 

$V_L=ωLI=200×1=200[V]$

 

$V_C=\cfrac{1}{ωC}I=200×1=200[V]$

 

$Q=\cfrac{ωL}{R}=\cfrac{200}{10}=20倍、  Q=\cfrac{1}{ωCR}=200×\cfrac{1}{10}=20倍$

 

このことから分かるように、\(LやC\) の端子電圧は電源電圧の20倍にもなることが分かります。

 

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