H30年 理論 問2(コンデンサ)




H30年 理論 問2(コンデンサ)

次の文章は、平行板コンデンサの電界に関する記述である。

極板間距離 \(d_0\) [m] の平行板空気コンデンサの極板間電圧を一定とする。

極板と同形同面積の固体誘電体(比誘電率 \(ε_r\) > 1、厚さ \(d_1\) [m] < \(d_0\) [m])を極板と平行に挿入すると、空気ギャップの電界の強さは、固体誘電体を挿入する前の値と比べて( ア )。

また、極板と同形同面積の導体(厚さ \(d_2\) [m] < \(d_0\) [m] )を極板と平行に挿入すると、空気ギャップの電界の強さは、導体を挿入する前の値と比べて( イ )。
ただし、コンデンサの端効果は無視できるものとする。

上記の記述中の空白箇所(ア)及び(イ)に当てはまる組み合わせとして、正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

解 答

問(ア)
(ア)の答えは、「強くなる」になります。

問題文の平行板空気コンデンサは、次のような図になります。

例えば、電圧を 300 [V] 、\(d_0=1\) とした場合

\(E_0=\cfrac{V}{d_0}\) から、電界の強さは \(E_0=\cfrac{300}{1}=300\) になります。

このときの、静電容量を \(C=ε_0\cfrac{S}{d_0}\) とします。

●固体誘電体を挿入したとき
ここで、比誘電率が \( 2 \)、厚さが \(\cfrac{1}{2}d_0\) の固体誘電体を挿入したときの図が、次のようになります。

この場合、固体誘電体を挿入したので、空気コンデンサの厚さは \(\cfrac{1}{2}d_0\) になります。

したがって、空気コンデンサの静電容量を \(C_1\) とすると、\(C_1=2ε_0\cfrac{S}{d_0}=2C\) となります。

固体誘電体の静電容量を \(C_2\) とすると、\(C_2=4ε_0\cfrac{S}{d_0}=4C\) になります。

空気コンデンサと固体誘電体の直列接続の静電容量を \(C_0\) とすると

\(C_0=\cfrac{2C×4C}{2C+4C}=\cfrac{4}{3}C\) となります。

\(Q=C_0V=\cfrac{4}{3}C×300=400C\)

空気コンデンサにかかる電圧 \(V_1\) とすると

\(V_1=\cfrac{Q}{C_1}=\cfrac{400C}{2C}=200\) になります。

空気コンデンサの電界を \(E_1\) とすると

\(E_1=\cfrac{V_1}{\cfrac{1}{2}d_0}=400\) になり、固体誘電体を挿入すると電界の強さは「強くなる」ことがわかります。

問(イ)
(イ)の答えは、「強くなる」になります。

導体を挿入したということは、電極を入れたことと同じになりますので、仮に極板間隔を \(\cfrac{1}{2}\) にしたとすれば、次の図のようになります。

電界は \(E=\cfrac{V}{d}\) で表されるので、間隔 \(d\) は小さくなり、電圧 \(V\) は変わらないので \(E\) は強くなります。

以上のことから、正解は(1)




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