H30年 理論 問1（静電力）
次の文章は、帯電した導体球に関する記述である。
真空中で導体球 A 及び B が軽い絶縁体の糸で固定点 O からつり下げられている。
真空の誘電率を \(ε_0\) [F/m]、重力加速度を g [m/s2]とする。A 及び B は同じ大きさと質量 m [kg] をもつ。
糸の長さは各導体球の中心点が点 O から距離 l [m] となる長さである。
まず、導体球 A 及び B にそれぞれ電荷 Q [C]、3Q [C] を与えて帯電させたところ、静電力による（ ア ）が生じ、図のように A 及び B の中心点間が d [m] 離れた状態で釣り合った。
ただし、導体球の直径は d に比べて十分に小さいとする。このとき、個々の導体球において、静電力 F=（ イ ）[N]、重力 mg [N]、糸の張力 T [N]、の三つの力が釣り合っている。
三平方の定理より \(F^2+(mg)^2=T^2\) が成り立ち、張力の方向を考えると \(\cfrac{F}{T}\) は \(\cfrac{d}{2l}\) に等しい。
これらより T を消去し整理すると、d が満たす式として、
\(k\left(\cfrac{d}{2l}\right)^3=\sqrt{1-\left(\cfrac{d}{2l}\right)^2}\)
が導かれる。
ただし、係数 k=（ ウ ）である。
次に、A と B とを一旦接触させたところ AB 間で電荷が移動し、同電位となった。
そして A と B とが力の釣り合いの位置に戻った。接触前に比べ、距離 d は（ エ ）した。
解 答
問（ア）
（ア）の答えは、「反発力」になります。
同種の電荷間には、「反発力」が働き、異種の電荷間には「吸引力」が働きます。
これは、２つの磁極間に働く力と似ています。
問（イ）
（イ）の数値は \(\cfrac{3Q^2}{4πε_0d^2}\) になります。
２つの電荷間に働く力は、クーロンの法則から求めることができます。
クーロンの法則 \(F=\cfrac{1}{4πε_0}・\cfrac{Q_1Q_2}{r^2}\) [N]
F：静電気力 [N]
\(Q_1,Q_2\)：電荷 [C]
r：電極間の距離[m]
\(ε_0\)：真空の誘電率[F/m]
クーロンの法則に、問題文を適用すると、静電力 F は次のようになります。
\(F=\cfrac{1}{4πε_0}・\cfrac{Q×3Q}{d^2}\)
\(F=\cfrac{3Q^2}{4πε_0d^2}\) [N]
問（ウ）
（ウ）の数値は \(\cfrac{16πε_0l^2mg}{3Q^2}\) になります。
問題文から、\(\cfrac{F}{T}=\cfrac{d}{2l}\) ということがわかります。
両辺を２乗します。
\(\cfrac{F^2}{T^2}=\left(\cfrac{d}{2l}\right)^2\)
\(T^2=F^2+(mg)^2\) を上の式に代入すると
\(\cfrac{F^2}{F^2+(mg)^2}=\left(\cfrac{d}{2l}\right)^2\)
両辺に \(F^2+(mg)^2\) を掛けると
\(F^2=F^2\left(\cfrac{d}{2l}\right)^2+(mg)^2\left(\cfrac{d}{2l}\right)^2\)
式を整理します。
\(F^2\left\{1-\left(\cfrac{d}{2l}\right)^2\right\}=(mg)^2\left(\cfrac{d}{2l}\right)^2\)
両辺の平方をとると
\(F\sqrt{1-\left(\cfrac{d}{2l}\right)^2}=mg\left(\cfrac{d}{2l}\right)\)
F を右辺にすると
\(\sqrt{1-\left(\cfrac{d}{2l}\right)^2}=\cfrac{mg}{F}\left(\cfrac{d}{2l}\right)\)
（イ）で求めた \(F=\cfrac{3Q^2}{4πε_0d^2}\) の値を代入します。
\(\sqrt{1-\left(\cfrac{d}{2l}\right)^2}=\cfrac{4πε_0d^2mg}{3Q^2}\left(\cfrac{d}{2l}\right)\)
式を整理するために、右辺に \(\left(\cfrac{d}{2l}\right)^2・\cfrac{4l^2}{d^2}\) を掛けると
\(\sqrt{1-\left(\cfrac{d}{2l}\right)^2}=\cfrac{4πε_0d^2mg・4l^2}{3Q^2・d^2}\left(\cfrac{d}{2l}\right)^3\)
さらに、式を整理して、左辺と右辺を入れ替えます。
\(\cfrac{16πε_0l^2mg}{3Q^2}\left(\cfrac{d}{2l}\right)^3=\sqrt{1-\left(\cfrac{d}{2l}\right)^2}\)
問題文の \(k\left(\cfrac{d}{2l}\right)^3=\sqrt{1-\left(\cfrac{d}{2l}\right)^2}\) と比較すると
\(k=\cfrac{16πε_0l^2mg}{3Q^2}\)
であることがわかります。
問（エ）
（エ）は増加になります。
導体球 A と B を接触させたので、電荷量が同じ 2Q [C] になります。
静電力は、クーロンの式から \(F=\cfrac{1}{4πε_0}・\cfrac{Q_1Q_2}{r^2}\) [N] になります。
静電力は、3Q と Q の積より 2Q と 2Q の積のほうが大きくなります。
以上のことから、正解は（1）
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