H30年 理論 問1(静電力)

H30年 理論 問1(静電力)

次の文章は、帯電した導体球に関する記述である。
真空中で導体球 A 及び B が軽い絶縁体の糸で固定点 o からつり下げられている。
真空の誘電率を \(ε_0\) [F/m]、重力加速度を \(g\) [m/s2] とする。A 及び B は同じ大きさと質量 \(m\) [kg] をもつ。

糸の長さは各導体球の中心点が点 O から距離 \(l\) [m] となる長さである。
まず、導体球 A 及び B にそれぞれ電荷 \(Q\) [ C ]、\(3Q\) [ C ] を与えて帯電させたところ、静電力による(ア)が生じ、図のように A 及び B の中心点間が \(d\) [m] 離れた状態で釣り合った。

ただし、導体球の直径は \(d\) に比べて十分に小さいとする。
このとき、個々の導体球において、静電力 \(F=(イ)\) [N]、重力 \(mg\) [N]、糸の張力 \(T\) [N]、の三つの力が釣り合っている。

三平方の定理より \(F^2+(mg)^2=T^2\) が成り立ち、張力の方向を考えると \(\cfrac{F}{T}\) は \(\cfrac{d}{2l}\) に等しい。

これらより \(T\) を消去し整理すると、\(d\) が満たす式として
\(k\left(\cfrac{d}{2l}\right)^3=\sqrt{1-\left(\cfrac{d}{2l}\right)^2}\) が導かれる。
ただし、係数 \( k=(ウ)\) である。

次に、A と B とを一旦接触させたところ AB 間 で電荷が移動し、同電位となった。
そして A と B とが力の釣り合いの位置に戻った。接触前に比べ、距離 \(d\) は(エ)した。

解 答

問(ア)

(ア)の答えは、「反発力」になります。

同種の電荷間には、「反発力」が働き、異種の電荷間には「吸引力」が働きます。

これは、2つの磁極間に働く力と似ています。

問(イ)

(イ)の数値は \(\cfrac{3Q^2}{4πε_0d^2}\) になります。

2つの電荷間に働く力は、クーロンの法則から求めることができます。

クーロンの法則 \(F=\cfrac{1}{4πε_0}\cdot\cfrac{Q_1Q_2}{r^2}\) [N]

F:静電気力 [N] 
\(Q_1,Q_2\):電荷 [C] 
r:電極間の距離 [m] 
\(ε_0\):真空の誘電率 [F/m]

クーロンの法則に、問題文を適用すると、静電力 \(F\) は次のようになります。

\(F=\cfrac{1}{4πε_0}\cdot \cfrac{Q×3Q}{d^2}\)

\(F=\cfrac{3Q^2}{4πε_0d^2}\) [N]

問(ウ)

(ウ)の数値は \(\cfrac{16πε_0l^2mg}{3Q^2}\) になります。

問題文から \(\cfrac{F}{T}=\cfrac{d}{2l}\) ということがわかります。

両辺を2乗します。

\(\cfrac{F^2}{T^2}=\left(\cfrac{d}{2l}\right)^2\)

\(T^2=F^2+(mg)^2\) を上の式に代入すると

\(\cfrac{F^2}{F^2+(mg)^2}=\left(\cfrac{d}{2l}\right)^2\)

両辺に \(F^2+(mg)^2\) を掛けると

\(F^2=F^2\left(\cfrac{d}{2l}\right)^2+(mg)^2\left(\cfrac{d}{2l}\right)^2\)

式を整理します。

\(F^2\left\{1-\left(\cfrac{d}{2l}\right)^2\right\}=(mg)^2\left(\cfrac{d}{2l}\right)^2\)

両辺の平方をとると

\(F\sqrt{1-\left(\cfrac{d}{2l}\right)^2}=mg\left(\cfrac{d}{2l}\right)\)

\(F\) を右辺にすると

\(\sqrt{1-\left(\cfrac{d}{2l}\right)^2}=\cfrac{mg}{F}\left(\cfrac{d}{2l}\right)\)

(イ)で求めた \(F=\cfrac{3Q^2}{4πε_0d^2}\) の値を代入します。

\(\sqrt{1-\left(\cfrac{d}{2l}\right)^2}=\cfrac{4πε_0d^2mg}{3Q^2}\left(\cfrac{d}{2l}\right)\)

式を整理するために、右辺に \(\left(\cfrac{d}{2l}\right)^2・\cfrac{4l^2}{d^2}\) を掛けると

\(\sqrt{1-\left(\cfrac{d}{2l}\right)^2}=\cfrac{4πε_0d^2mg・4l^2}{3Q^2・d^2}\left(\cfrac{d}{2l}\right)^3\)

さらに、式を整理して、左辺と右辺を入れ替えます。

\(\cfrac{16πε_0l^2mg}{3Q^2}\left(\cfrac{d}{2l}\right)^3=\sqrt{1-\left(\cfrac{d}{2l}\right)^2}\)

問題文の \(k\left(\cfrac{d}{2l}\right)^3=\sqrt{1-\left(\cfrac{d}{2l}\right)^2}\) と比較すると

\(k=\cfrac{16πε_0l^2mg}{3Q^2}\)

であることがわかります。

問(エ)

(エ)は増加になります。

導体球 A と B を接触させたので、電荷量が同じ \(2Q\) [ C ] になります。

静電力は、クーロンの式から \(F=\cfrac{1}{4πε_0}・\cfrac{Q_1Q_2}{r^2}\) [N] になります。

静電力は、\(3Q\) と \(Q\) の積より \(2Q\) と \(2Q\) の積のほうが大きくなります。

正解は(1)になります。

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以上で「H30年 理論 問1(静電力)」の説明を終わります。