問１８
演算増幅器を用いた回路について、次の（a）及び（b）の問に答えよ。
（a）図１の回路の電圧増幅度 \(\cfrac{v_0}{v_i}\) を \(3\) とするためには、\(α\) をいくらにする必要があるか、\(α\) の値として、最も近いものを次の（１）～（５）のうちから一つ選べ。
（b）図２の回路は、図１の回路に、帰還回路として \(2\) 個の\(5kΩ\) の抵抗と \(2\) 個の \(0.1μF\) のコンデンサを追加した発振回路である。
発信の条件を用いて発振周波数の値 \(f\) [kHz] を求め、最も近いものを次の（１）～（５）のうちから一つ選べ。
＜解答例＞
（a）電圧増幅度を \(3\) とするための \(α\) の値
図１の回路は、図３のように考えることができます。
問題１の演算増幅回路の電圧増幅度は無限大 \((∞)\) なので、演算増幅器には電流が流れません。
また、入力端子の間には電位差がありませんので、仮想短絡状態と考えられます。
このため、図３のように電流 \(i\) は外部抵抗 \(αR\) と\(R\) だけに流れます。
図３を図４のように、簡略化します。
\(i=\cfrac{v_o}{R+αR}=\cfrac{v_i}{R}\)
次の式が成り立ちます。
\(i=\cfrac{v_o}{R+αR}=\cfrac{v_i}{R}\)
\((α+1)v_i=v_o\)
\(α=\cfrac{v_o}{v_i}-1\)\(=3-1=2\)
答えは（４）になります。
（b）発振周波数の値 \(f\) [Hz]
図２の演算増幅回路と帰還回路を示すと、図５のようになります。
この帰還回路の帰還率を \(β\) とすると
\(β=\cfrac{v_i}{v_o}\) になります。
図５の回路において、\(5kΩ\) の抵抗を\(R\)、\(0.01μF\) のコンデンサのリアクタンスを \(X\) とすると、直列合成インピーダンス \(Z_1\) と並列合成インピーダンス \(Z_2\) は
\(Z_1=R+jX\)
\(Z_2=\cfrac{jRX}{R+jX}\)
ここで、\(v_i\) は \(v_o\) の 分圧電圧になりますので
\(v_i=\cfrac{Z_2}{Z_1+Z_2}v_o\) になります。
したがって、\(β\) は
\(β=\cfrac{v_i}{v_o}\)\(=\cfrac{Z_2}{Z_1+Z_2}v_o\)
\(β=\cfrac{\cfrac{jRX}{R+jX}}{R+jX+\cfrac{jRX}{R+jX}}\)\(=\cfrac{\cfrac{jRX}{R+jX}}{\cfrac{(R+jX)^2+jRX}{R+jX}}\)\(=\cfrac{jRX}{(R+jX)^2+jRX}\)\(=\cfrac{jRX}{R^2-X^2+3jRX}\)
分母を有理化すると、次のようになります。
\(β=\cfrac{jRX(R^2-X^2-3jRX)}{(R^2-X^2+3jRX)(R^2-X^2-3jRX)}\)\(=\cfrac{jRX(R^2-X^2)+3R^2X^2}{(R^2-X^2+3jRX)(R^2-X^2-3jRX)}\)
演算増幅器の発振条件
演算増幅器 (A)、帰還回路 (β) としたとき
①(Aβ≧1) または
②(Aβ) の位相角がゼロのとき
上式は有理化したので分母は実数になるので、分子の虚数分がゼロになると出力波形と入力波形の位相が同じになります。
\(jRX(R^2-X^2)=0\)
\(R^2=X^2\) で \(X=\cfrac{1}{ωC}\) を代入すると
\(R^2=(\cfrac{1}{ωC})^2\)
\(ω^2C^2R^2=1\)
\(\therefore ω=\cfrac{1}{CR}\)
\(C=0.1μF、R=5000Ω\) を代入すると
\(ω=2000\)
\(2πf=2000\) から
\(f=\cfrac{2000}{2π}≒318\) [Hz]
となり、約\(0.3kHz\) になります。答えは（２）になります。
正解は（a）－（４）、（b）－（２）になります。