電験三種　H29年　理論　問17　問題と解説

問１７

巻数 N のコイルを巻いた鉄心１と、空隙（エアギャップ）を隔てて置かれた鉄心２からなる図１のような磁気回路がある。
この二つの鉄心の比透磁率はそれぞれ \(μ_{r1}=2000\) 、\(μ_{r2}=1000\) であり、それらの磁路の平均の長さはそれぞれ \(l_1=200 \rm mm\) 、 \(l_2=98 \rm mm\)、空隙長は \(δ=1 \rm mm\) である。
ただし、鉄心１及び鉄心２のいずれの断面も同じ形状とし、磁束は断面内で一様で、漏れ磁束や空隙における磁束の広がりはないものとする。
このとき、次の（a）及び（b）の問いに答えよ。

（a）空隙における磁界の強さ \(H_0\) に対する磁路に沿った磁界の強さ \(H\) の比 \(\cfrac{H}{H_0}\) を表すおおよその図として、最も近いものを図２の（１）～（５）のうちから一つ選べ。
ただし、図１に示す \(x=0\) [mm] から時計回りに磁路を進む距離を \(x\) [mm] とする。
また、図２は片対数グラフであり、空隙長 \(δ\) [mm] は実際より大きく表示している。

（b）コイルに電流 \(I=1 \rm A\) を流すとき、空隙における磁界の強さ \(H_0\) を \(2×10^4 \rm A/m\) 以上とするのに必要なコイルの最小巻数 \(N\) の値として、最も近いものを次の（１）～（５）のうちから一つ選べ。

＜解答例＞

\(R_m=\cfrac{l}{μ_0μ_rS}\cdots\)磁気抵抗
\(μ=μ_0μ_r\)：鉄心の透磁率
\(S\)：鉄心の断面積

\(B=\cfrac{\phi}{S}\cdots\)磁束密度
\(\phi\)：磁束
\(S\)：断面積

\(H=\cfrac{B}{μ}\cdots\)磁界の強さ
\(B\)：磁束密度
\(μ\)：透磁率

図１の磁気回路の合成磁気抵抗を \(R_0\)、鉄心１の磁気抵抗を \(R_{m1}\)、鉄心２の磁気抵抗を \(R_{m2}\)、空隙の磁気抵抗を \(R_{m3}\)、磁束を \(\phi\)、鉄心の断面積 \(A\) とすると、次のような関係になります。

\(\phi=\cfrac{NI}{R_0}\cdots\)（１）

\(R_0=R_{m1}+R_{m2}+2R_{m3}\)

\(R_0=\cfrac{l_1}{μ_0μ_{r1}A}+\cfrac{l_2}{μ_0μ_{r2}A}+2\cfrac{δ}{μ_0A}\cdots\)（２）

（２）式を（１）式に代入すると
\(\phi=\cfrac{NI}{R_0}\)\(=\cfrac{NI}{\cfrac{1}{μ_0A}\left(\cfrac{l_1}{μ_{r1}}+\cfrac{l_2}{μ_{r2}}+2δ\right)}\)\(=\cfrac{μ_0ANI}{\cfrac{l_1}{μ_{r1}}+\cfrac{l_2}{μ_{r2}}+2δ}\)

図１の磁気回路を等価回路にすると、図２になります。

（a）各磁路１，２，３，４の磁界の強さを求める

鉄心１（磁路１）
\(H_1=\cfrac{B}{μ_0μ_{r1}}=\cfrac{\phi}{μ_0μ_{r1}A}\)\(=\cfrac{μ_0ANI}{μ_0μ_{r1}A\left(\cfrac{l_1}{μ_{r1}}+\cfrac{l_2}{μ_{r2}}+2δ\right)}\)\(=\cfrac{NI}{μ_{r1}\left(\cfrac{l_1}{μ_{r1}}+\cfrac{l_2}{μ_{r2}}+2δ\right)}\)

空隙間（磁路２及び４）
\(H_0=\cfrac{B}{μ_0}=\cfrac{\phi}{μ_0A}\)\(=\cfrac{μ_0ANI}{μ_0A\left(\cfrac{l_1}{μ_{r1}}+\cfrac{l_2}{μ_{r2}}+2δ\right)}\)\(=\cfrac{NI}{\cfrac{l_1}{μ_{r1}}+\cfrac{l_2}{μ_{r2}}+2δ}\)

鉄心２（磁路３）
\(H_2=\cfrac{B}{μ_0μ_{r2}}=\cfrac{\phi}{μ_0μ_{r2}A}\)\(=\cfrac{μ_0ANI}{μ_0μ_{r2}A\left(\cfrac{l_1}{μ_{r1}}+\cfrac{l_2}{μ_{r2}}+2δ\right)}\)\(=\cfrac{NI}{μ_{r2}\left(\cfrac{l_1}{μ_{r1}}+\cfrac{l_2}{μ_{r2}}+2δ\right)}\)