問１６
図のように、線間電圧 \(V\) [V]、周波数 \(f\) [Hz] の対称三相交流電源に、\(R\) [Ω] の抵抗とインダクタンス \(L\) [H] のコイルからなる三相平衡負荷を接続した交流回路がある。
この回路には、スイッチ \(S\) を介して、負荷に静電容量 \(C\) [F] の三相平衡コンデンサを接続することができる。
次の（a）及び（b）の問に答えよ。
（a）スイッチ \(S\) を開いた状態において、\(V=200V,f=50Hz,R=5Ω,L=5mH\) のとき、三相負荷全体の有効電力の値 [W] と力率の値の組合せとして、最も近いものを次の（１）～（５）のうちから一つ選べ。
（b）スイッチ \(S\) を閉じてコンデンサを接続したとき、電源から見た負荷側の力率が \(1\) になった。
このとき、静電容量 \(C\) の値 [F] を示す式として、正しいものを次の（１）～（５）のうちから一つ選べ。
ただし、角周波数を \(ω\) [rad/s] とする。
＜解答例＞
問１６
（a）
●\(S\) を開いた状態での三相負荷の有効電力 \(P\) と力率
問題の回路は、三相平衡負荷なので三相電力は１相分の電力の３倍になります。
次の図は１相分の等価回路を示します。
１相分の有効電力を \(P_a\) とすると
\(P_a=I^2R\) となります。
負荷のリアクタンス \(X\) は
\(X=ωL=2πfl\)\(=2×3.14×50×5×10^{-3}\)\(=1.57\) [Ω]
負荷インピーダンス \(Z\) と負荷電流 \(I\) は
\(Z=\sqrt{R^2+X^2}\) [Ω]
\(I=\cfrac{V}{\sqrt{3}}×\cfrac{1}{Z}\) [A]
求める三相負荷の有効電力 \(P\) は
\(P=3I^2R=3\left(\cfrac{V}{\sqrt{3}}×\cfrac{1}{Z}\right)^2R\)\(=\left(\cfrac{V}{Z}\right)^2R\)
\(P=\cfrac{200^2}{5^2+1.57^2}×5\)
\(P≒7282\) [W] \(≒7.28×10^3\) [W]
力率 \(\cosθ\)は
\(\cosθ=\cfrac{R}{Z}\)\(=\cfrac{R}{\sqrt{R^2+X^2}}\)\(=\cfrac{5}{\sqrt{5^2+1.57^2}}\)
\(\cosθ≒0.95\) となるので、答えは（３）です。
（b）
●コンデンサを接続した後に負荷の力率を１とする静電容量 \(C\) の値
三相負荷の接続がY接続なので、コンデンサのΔ接続をY接続に変換します。
コンデンサ接続後の１相分の等価回路は次のようになります。
負荷側の合成アドミタンス \(Y_0\) を求める。
\(Y_0=\cfrac{1}{R+jωL}+j3ωC\)\(=\cfrac{R-jωL}{(R+jωL)(R-jωL)}+j3ωC\)\(=\cfrac{R}{R^2+(ωL)^2}+jω\left(3C-\cfrac{L}{R^2+(ωL)^2}\right)\)
負荷側の力率が１になるのは、電圧と電流が同相になるときであり、このときには負荷アドミタンスは実数部だけになり、虚数部はゼロになります。
したがって
\(3C=\cfrac{L}{R^2+(ωL)^2}\)
\(C=\cfrac{L}{3(R^2+ω^2L^2)}\) になるので、答えは（４）です。
正解は（a）－（３）、（b）－（４）になります。
