電験三種　H29年　理論　問15　問題と解説

問１５

図は未知のインピーダンス \(\dot Z\) [Ω] を測定するための交流ブリッジである。
電源の電圧を \(\dot{E}\) [V]、角周波数を \(ω\) [rad/s] とする。
ただし \(ω\)、静電容量 \(C_1\) [F]、抵抗 \(R_1\) [Ω]、\(R_2\) [Ω]、\(R_3\) [Ω] は零でないとする。次の（a）及び（b）の問に答えよ。

（a）交流検出器 \(D\) による検出電圧が零となる平衡条件を \(\dot{Z}\)、\(R_1\)、\(R_2\)、\(R_3\)、\(ω\)　及び　\(C_1\)　を用いて表すと

となる。

上式の空白に入る式として適切なものを次の（１）～（５）のうちから一つ選べ。

（b）\(\dot{Z}=R+jX\) としたとき、この交流ブリッジで測定できる \(R\) [Ω] と \(X\) [Ω] の満たす条件として、正しいものを次の（１）～（５）のうちから一つ選べ。

＜解答例＞

問１5

問題の図をブリッジ回路にすると次のようになります。

（a）交流検出器 \(D\) がゼロになる条件
ブリッジ回路が平衡すると、上図の端子b-c間の電位差がゼロになります。
このときにブリッジが平衡する条件は、ブリッジを構成する各インピーダンスの対辺の積が等しくなるときです。
したがって、次の式が成り立ちます。
\(R_2R_3=\dot{Z} \cfrac{1}{\cfrac{1}{R_1}+jωC_1}\cdots\)（１）

\(R_2R_3=\dot{Z} \cfrac{R_1}{1+jωC_1R_1}\)

したがって、（a）の答えは（３）になります。

（b）交流ブリッジで測定できる \(R\) [Ω] と \(X\) [Ω] の満たす条件
（a）で求めた式（１）から
\(R_2R_3=\dot{Z} \cfrac{1}{\cfrac{1}{R_1}+jωC_1}\)

上の式を \(\dot{Z}\) の形に変形します。
式の両辺に
\(\cfrac{1}{R_1}+jωC_1\)　をかけると

\(R_2R_3\left(\cfrac{1}{R_1}+jωC_1\right)=\dot{Z}\)

\(\dot{Z}=\cfrac{R_2R_3}{R_1}+jωC_1R_2R_3\cdots\)（２）

題意の \(\dot{Z}=R+jX\) を式（２）に代入すると
\(R+jX=\cfrac{R_2R_3}{R_1}+jωC_1R_2R_3\)

\(\therefore{R}=\cfrac{R_2R_3}{R_1}\)

　\(X=ωC_1R_2R_3\)

題意より、\(ω、C_1、R_1、R_2、R_3 \neq{0}\)
かつ、\(ω、C_1、R_1、R_2、R_3 \) は正の数なので

\(R=\cfrac{R_2R_3}{R_1}>0\)

\(X=ωC_1R_2R_3>0\) になります。