電験三種　H29年　理論　問2　問題と解説

問２

電験三種過去問題の平成29年　理論の問2　平行板コンデンサに蓄えられるエネルギーに関する問題です。

問２
極板の面積 S [m²] 、極板間の距離 d [m] の平行板コンデンサ A 、
極板の面積 2S [m²] 、極板間の距離 d [m] の平行板コンデンサ B 及び
極板の面積 S [m²] 、極板間の距離 2d [m] の平行板コンデンサ C がある。

各コンデンサは、極板間の電界の強さが同じ値となるようにそれぞれの直流電源で充電されている。
各コンデンサをそれぞれの直流電源から切り離した後、全コンデンサを同じ極性で並列に接続し、
十分時間が経ったとき、各コンデンサに蓄えられる静電エネルギーの総和の値 [J] は、並列に接続する前の総和の値 [J]
の何倍になるか。

その倍率として、最も近いものを次の（１）～（５）のうちから一つ選べ。
ただし、各コンデンサの極板間の誘電率は同一であり、端効果は無視できるものとする。

＜解答例＞

問２
コンデンサ極板間の電界は平等電界で、電圧 \(V\) 、極板間隔 \(d\) 、電界の強さを \(E\) とすると
\(E=\cfrac{V}{d}\) で求められます。

問題文から、各コンデンサの電界の強さが同じになるように電圧を印加したので、コンデンサA、B、C の印加電圧を \(V_A、V_B、V_C\) とすると、次のようになります。
\(V_A=V\) 
\(V_B=V\) 
\(V_C=2V\)

●コンデンサ A、B、C にそれぞれ蓄えられるエネルギーの合計
コンデンサに蓄えられるエネルギーの式は、次のようになります。
\(W=\cfrac{1}{2}CV^2\)

コンデンサ A、B、C の静電容量\( C_A、C_B、C_C\) は、電極間の誘電率を \(ε_0\) とすると、
\(C_A=\cfrac{ε_0S}{d}\) 
\(C_B=\cfrac{ε_02S}{d}=2C_A\) 
\(C_C=\cfrac{ε_0S}{2d}=\cfrac{C_A}{2}\)

関係を図で表すと

コンデンサ A、B、C に蓄えられるエネルギーの合計は
\(W=\cfrac{1}{2}C_AV_A^2+\cfrac{1}{2}C_BV_B^2+\cfrac{1}{2}C_CV_V^2\)

\(=\cfrac{1}{2}\left\{C_AV^2+2C_AV^2+\cfrac{C_A}{2}(2V)^2\right\}\)

\(=\cfrac{1}{2}C_AV^2\left(1+2+\cfrac{2^2}{2}\right)\)

\(W=\cfrac{5}{2}C_AV^2\)

●コンデンサ A、B、C を並列接続したときのエネルギーの合計

コンデンサ A、B、C に蓄えられていた電荷をそれぞれ \(Q_A、Q_B、Q_C\) とすると
\(Q_A=C_AV_A=C_AV\) 
\(Q_B=C_BV_B=2C_AV\) 
\(Q_C=C_CV_C=\cfrac{C_A}{2}A2V=C_AV\)

電荷量の合計は
\(Q_A+Q_B+Q_V=4C_AV\)

３つのコンデンサの並列接続の合成静電容量を \(C_0\) は
\(C_0=C_A+C_B+C_C=C_A+2C_A+\cfrac{C_A}{2}\) 
\(C_0=\cfrac{7}{2}C_A\)

並列接続後の静電エネルギーを \(W_0\) とすると
\(W_0=\cfrac{1}{2}\cfrac{(Q_A+Q_B+Q_C)^2}{C_0}\)

\(=\cfrac{1}{2}・\cfrac{(4C_AV)^2}{\cfrac{7}{2}C_A}\)

\(=\cfrac{1}{2}・\cfrac{16×2}{7}C_AV^2\)

\(W_0=\cfrac{1}{2}・\cfrac{32}{7}C_AV^2\)　[J]

●並列接続後と接続前の静電エネルギーの倍率を比較する

\(\cfrac{W_0}{W}=\cfrac{\cfrac{1}{2}・\cfrac{32}{7}C_AV^2}{\cfrac{5}{2}C_AV^2}\)\(=\cfrac{32}{7}×\cfrac{1}{5}≒0.914\)

正解は（２）になります。