H29年 理論 問15(交流ブリッジ)




H29年 理論 問15(交流ブリッジ)

図は未知のインピーダンス \(\dot Z\) [Ω] を測定するための交流ブリッジである。
電源の電圧を \(\dot{E}\) [V]、角周波数を \(ω\) [rad/s] とする。
ただし \(ω\)、静電容量 \(C_1\) [F]、抵抗 \(R_1\) [Ω]、\(R_2\) [Ω]、\(R_3\) [Ω] は零でないとする。次の(a)及び(b)の問に答えよ。

(a)交流検出器 \(D\) による検出電圧が零となる平衡条件を \(\dot{Z}\)、\(R_1\)、\(R_2\)、\(R_3\)、\(ω\) 及び \(C_1\) を用いて表すと

となる。
上式の空白に入る式として適切なものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

(b)\(\dot{Z}=R+jX\) としたとき、この交流ブリッジで測定できる \(R\) [Ω] と \(X\) [Ω] の満たす条件として、正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

解 答

問15
問題の図をブリッジ回路にすると次のようになります。

(a)交流検出器 \(D\) がゼロになる条件
ブリッジ回路が平衡すると、上図の端子b-c間の電位差がゼロになります。
このときにブリッジが平衡する条件は、ブリッジを構成する各インピーダンスの対辺の積が等しくなるときです。
したがって、次の式が成り立ちます。
\(R_2R_3=\dot{Z} \cfrac{1}{\cfrac{1}{R_1}+jωC_1}\cdots\)(1)

\(R_2R_3=\dot{Z} \cfrac{R_1}{1+jωC_1R_1}\)

したがって、(a)の答えは(3)になります。

(b)交流ブリッジで測定できる \(R\) [Ω] と \(X\) [Ω] の満たす条件
(a)で求めた式(1)から
\(R_2R_3=\dot{Z} \cfrac{1}{\cfrac{1}{R_1}+jωC_1}\)

上の式を \(\dot{Z}\) の形に変形します。
式の両辺に
\(\cfrac{1}{R_1}+jωC_1\) をかけると

\(R_2R_3\left(\cfrac{1}{R_1}+jωC_1\right)=\dot{Z}\)

\(\dot{Z}=\cfrac{R_2R_3}{R_1}+jωC_1R_2R_3\cdots\)(2)

題意の \(\dot{Z}=R+jX\) を式(2)に代入すると
\(R+jX=\cfrac{R_2R_3}{R_1}+jωC_1R_2R_3\)

\(\therefore{R}=\cfrac{R_2R_3}{R_1}\)

 \(X=ωC_1R_2R_3\)

題意より、\(ω、C_1、R_1、R_2、R_3 \neq{0}\)
かつ、\(ω、C_1、R_1、R_2、R_3 \) は正の数なので

\(R=\cfrac{R_2R_3}{R_1}>0\)

\(X=ωC_1R_2R_3>0\) になります。

したがって、(b)の答えは(4)になります。

正解は(a)-(3)、(b)-(4)になります。

以上で「H29年 理論 問15(交流ブリッジ)」の説明を終わります。