電験三種　H26年　理論　問9　問題と解説

問９

問 9

図のように、二つのLC直列共振回路A、Bがあり、それぞれの共振周波数が \(f_A\) [Hz] 、\(f_B\) [Hz] である。

これらA、Bをさらに直列に接続した場合、全体としての共振周波数が \(f_{AB}\) [Hz] になった。
\(f_A、f_B、f_{AB}\) の大小関係として、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

＜解答例＞

この問題は、共振周波数の大きさを比較する問題です。

共振周波数 \(f_0\) は次の式で求められます。

\(f_0=\cfrac{1}{2π\sqrt{LC}}\) [Hz]

1.　回路Aの共振周波数 \(f_A\) は

\(f_A=\cfrac{1}{2π\sqrt{LC}}\) [Hz]

2.　回路Bの共振周波数 \(f_B\) は

\(f_B=\cfrac{1}{2π\sqrt{2LC}}=\cfrac{1}{\sqrt2}×\cfrac{1}{2π\sqrt{LC}}\) [Hz]

\(f_A\) を基準にして表すと

\(f_B=\cfrac{1}{\sqrt2}×f_A≒0.707f_A\)

3.　回路Aと回路Bの直列接続の共振周波数 \(f_{AB}\) は、

インダクタンスは直列接続なので、3L [H]

静電容量は直列接続なので、「和分の積」から \(\cfrac{1}{2}\)C [F] になります。

\(f_{AB}=\cfrac{1}{2π\sqrt{3L×\cfrac{1}{2}C}}\)

\(=\cfrac{1}{2π\sqrt{\cfrac{3}{2}×LC}}\)

\(=\cfrac{1}{\sqrt{\cfrac{3}{2}}×2π\sqrt{LC}}\)

\(=\sqrt{\cfrac{2}{3}}×\cfrac{1}{2π\sqrt{LC}}\) [Hz]

\(f_A\) を基準にして表すと

\(f_{AB}=\sqrt{\cfrac{2}{3}}×f_A≒0.816f_A\)

以上から、\(f_B< f_{AB}< f_A\) になります。 正解は（５）になります。