電験三種　H26年　理論　問1　問題と解説

問１

極板A－B間が比誘電率 \(ε_r\)＝2 の誘電体で満たされた平行平板コンデンサがある。
極板間の距離はd [m] 、極板間の直流電圧は \(V_o\) [V] である。

極板と同じ形状と大きさをもち、厚さが \(\cfrac{d}{4}\) [m] の帯電していない導体を図に示す位置P－Q間に極板と平行に挿入したとき、導体の電位の値 [V] として、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

ただし、コンデンサの端効果は無視できるものとする。

問題文にあるコンデンサは、途中に導体が挿入されているので、2つのコンデンサが直列になっていることになります。

コンデンサの静電容量 \(C\) [F] の式は、次のようになります。

\(C=ε\cfrac{S}{d}\)

ε：誘電率[F/m]
S：電極の面積[m²]
ｄ：電極間の距離[m]

ここで、電極の面積を \(S\) [m²]、\(ε=ε_0ε_r\) として、\(C_1\) と \(C_2\) を求めると

\(ε_0\)：真空の誘電率[F/m]

\(C_1=ε_0ε_r\cfrac{S}{\cfrac{d}{2}}=2ε_0\cfrac{2S}{d}=\cfrac{4ε_0S}{d}\)

\(C_2=ε_0ε_r\cfrac{S}{\cfrac{d}{4}}=2ε_0\cfrac{4S}{d}=\cfrac{8ε_0S}{d}\)

直列接続のコンデンサに蓄えられる電荷は等しい。

コンデンサの合成静電容量を C とすると、和分の積から

\(C=\cfrac{C_1C_2}{C_1+C_2}\) [F]

電荷と静電容量の関係式 \(Q=CV\)　に代入すると

\(Q=\cfrac{C_1C_2}{C_1+C_2}V_0\)

また、
\(V_2=\cfrac{Q}{C_2}\) となります。

問題に当てはめて数値を代入する。

\(V_2=\cfrac{C_1C_2}{C_2(C_1+C_2)}V_0=\cfrac{C_1}{C_1+C_2}V_0\) [V]

\(V_2=\cfrac{\cfrac{4ε_0SV_0}{d}}{\cfrac{4ε_0S}{d}+\cfrac{8ε_0S}{d}}=\cfrac{4V_0}{12}=\cfrac{V_0}{3}\)

正解は（４）になります。