電験三種　H25年　理論　問15　問題と解説

問１５

問 15

図１のように、周波数　\(50\)　[Hz]、電圧　\(200\)　[V]　の対称三相交流電源に、インダクタンス　\(7.96\)　[ｍH]　のコイルと　\(６\)　[Ω]　の抵抗からなる平衡三相負荷を接続した交流回路がある。

次の（a）及び（b）の問に答えよ。

（a）図１において、三相負荷が消費する有効電力　\(P\)　[W]　の値として、最も近いものを次の（１）～（５）のうちから一つ選べ。

（１）　1890
（２）　3280
（３）　4020
（４）　5680
（５）　9840

（b）　図２のように、静電容量　\(C\)　[F]　のコンデンサを Δ結線し、その端子 a’、b’及び c’をそれぞれ図１の端子 a、b及び cに接続した。

その結果、三相交流電源からみた負荷の力率が１になった。

静電容量 C［F］の値として、最も近いものを次の（１）～（５）のうちから一つ選べ。

（１）　6.28 × 10-5
（２）　8.88 × 10-5
（３）　1.08 × 10-4
（４）　1.26 × 10-4
（５）　1.88 × 10-4

問（a）
三相電力は単相電力の3倍になります。

図1の電源側をΔ-Y変換をして、一相分を取り出した等価回路は次のようになります。

誘導性リアクタンスの値は
\(X_L=2\pi fL=100\pi×7.96×10^{-3}≒2.5\)　[Ω]

インピーダンスを \(Z\) とすると
\(Z=\sqrt{R^2+X_L^2}=\sqrt{6^2+2.5^2}=6.5\)　[Ω]

回路に流れる電流は
\(I=\cfrac{\cfrac{200}{\sqrt3}}{Z}=\cfrac{200}{\sqrt3×6.5}≒17.76\)　[A]

三相負荷の消費する電力は
\(P=3I^2R=3×17.76^2×6≒5678\)　[W]

問（a）の答えは（4）になります。

問（b）
図2 の Δ 接続のコンデンサを、Y 変換を接続に変換します。

Y 接続に変換したリアクタンスを \(X_{CY}\)　とすると

\(X_{CY}=\cfrac{1}{3}X_C=\cfrac{1}{j3ωC}\)

コンデンサを Y 接続に変換したことで、静電容量は３倍になります。

接続されたコンデンサは、元のインピーダンスに並列に接続されるので次のようになります。

図の合成インピーダンスを求めるれば良いのですが、複素数の計算ではアドミタンスの方が計算が簡単になります。

合成アドミタンスを　\(Y\)　[S]　とすると
\(\dot{Y}=\cfrac{1}{R+X_L}+\cfrac{1}{X_{CY}}\)

\(=\cfrac{1}{R+jωL}+j3ωC\)

\(=\cfrac{R-jωL}{(R+jωL)(R-jωL)}+j3ωC\)

\(=\cfrac{R-jωL}{R^2+(ωL)^2}+j3ωC\)

\(=\cfrac{R}{R^2+(ωL)^2}+jω\left(3C-\cfrac{L}{R^2+(ωL)^2}\right)\)

負荷の力率が 1 になったということは、虚数部が 0 であることになりますので次の式が成り立ちます。

\(\left(3C-\cfrac{L}{R^2+(ωL)^2}\right)=0\)

\(3C=\cfrac{L}{R^2+(ωL)^2}\)

\(C=\cfrac{L}{3(R^2+(ωL)^2)}\)

この式に数値を入れて計算します。
\(C=\cfrac{L}{3(R^2+(ωL)^2)}\)

\(=\cfrac{7.96×10^{-3}}{3(6^2+(2π×50×7.96×10^{-3})^2}\)

≒\(6.28×10^{-5}\)　[F]

問（b）の答えは（1）になります。

正解は (a)－（４）、(b)－（１）になります。