問１５
問 15
図１のように、周波数 \(50\) [Hz]、電圧 \(200\) [V] の対称三相交流電源に、インダクタンス \(7.96\) [ｍH] のコイルと \(６\) [Ω] の抵抗からなる平衡三相負荷を接続した交流回路がある。
次の（a）及び（b）の問に答えよ。
（a）図１において、三相負荷が消費する有効電力 \(P\) [W] の値として、最も近いものを次の（１）～（５）のうちから一つ選べ。
（１） 1890
（２） 3280
（３） 4020
（４） 5680
（５） 9840
（b） 図２のように、静電容量 \(C\) [F] のコンデンサを Δ結線し、その端子 a’、b’及び c’をそれぞれ図１の端子 a、b及び cに接続した。
その結果、三相交流電源からみた負荷の力率が １になった。
静電容量 C［F］の値として、最も近いものを次の（１）～（５）のうちから一つ選べ。
（１） 6.28 × 10-5
（２） 8.88 × 10-5
（３） 1.08 × 10-4
（４） 1.26 × 10-4
（５） 1.88 × 10-4
＜解答例＞
問（a）
三相電力は単相電力の3倍になります。
図1の電源側をΔ-Y変換をして、一相分を取り出した等価回路は次のようになります。
誘導性リアクタンスの値は
\(X_L=2\pi fL=100\pi×7.96×10^{-3}≒2.5\) [Ω]
インピーダンスを \(Z\) とすると
\(Z=\sqrt{R^2+X_L^2}=\sqrt{6^2+2.5^2}=6.5\) [Ω]
回路に流れる電流は
\(I=\cfrac{\cfrac{200}{\sqrt3}}{Z}=\cfrac{200}{\sqrt3×6.5}≒17.76\) [A]
三相負荷の消費する電力は
\(P=3I^2R=3×17.76^2×6≒5678\) [W]
問（a） の答えは（4） になります。
問（b）
図2 の Δ 接続のコンデンサを、Y 変換を接続に変換します。
Y 接続に変換したリアクタンスを \(X_{CY}\) とすると
\(X_{CY}=\cfrac{1}{3}X_C=\cfrac{1}{j3ωC}\)
コンデンサを Y 接続に変換したことで、静電容量は３倍になります。
接続されたコンデンサは、元のインピーダンスに並列に接続されるので次のようになります。
図の合成インピーダンスを求めるれば良いのですが、複素数の計算ではアドミタンスの方が計算が簡単になります。
合成アドミタンスを \(Y\) [S] とすると
\(\dot{Y}=\cfrac{1}{R+X_L}+\cfrac{1}{X_{CY}}\)
\(=\cfrac{1}{R+jωL}+j3ωC\)
\(=\cfrac{R-jωL}{(R+jωL)(R-jωL)}+j3ωC\)
\(=\cfrac{R-jωL}{R^2+(ωL)^2}+j3ωC\)
\(=\cfrac{R}{R^2+(ωL)^2}+jω\left(3C-\cfrac{L}{R^2+(ωL)^2}\right)\)
負荷の力率が 1 になったということは、虚数部が 0 であることになりますので次の式が成り立ちます。
\(\left(3C-\cfrac{L}{R^2+(ωL)^2}\right)=0\)
\(3C=\cfrac{L}{R^2+(ωL)^2}\)
\(C=\cfrac{L}{3(R^2+(ωL)^2)}\)
この式に数値を入れて計算します。
\(C=\cfrac{L}{3(R^2+(ωL)^2)}\)
\(=\cfrac{7.96×10^{-3}}{3(6^2+(2π×50×7.96×10^{-3})^2}\)
≒\(6.28×10^{-5}\) [F]
問（b） の答えは（1） になります。
正解は (a)－（４）、(b)－（１）になります。
