電験三種　H25年　理論　問9　問題と解説

問９

問 9

図１のように　\(R\)　[Ω]　の抵抗、インダクタンス　\(L\)　[H]　のコイル、静電容量　\(C\)　[F]　のコンデンサからなる並列回路がある。

この回路に角周波数　\(ω\)　[rad/s]　の交流電圧　\(v\)　[V]　を加えたところ、この回路に流れる電流は　\(i\)　[A]　であった。

電圧　\(v\)　[V]　及び電流　\(i\)　[A]　のベクトルをそれぞれ電圧　\(\dot{V}\)［V］と電流 \(\dot{I}\)［A］とした場合、両ベクトルの関係を示す図２（ア、イ、ウ）及び　\(v\)　[V]　と　\(i\)　[A]　の時間　\(t\)　[s]　の経過による変化を示す図３（エ、オ、カ）の組合せとして、正しいものを次の（１）～（５）のうちから一つ選べ。

ただし、\(R≫ωL\)　及び　\(ωL=\cfrac{2}{ωC}\)　とし、一切の過渡現象は無視するものとする。

＜解答例＞

回路に流れる電流　\(\dot{I}\)　[A]　は次のように表される。
\(\dot{I}=\cfrac{\dot{V}}{\dot{Z}}\)\(=\cfrac{\dot{V}}{R}+\cfrac{\dot{V}}{jωL}+jωC\dot{V}\)

問題文に、\(R\ggωL\)　（　\(\gg\) は、非常に大きいの意味）なので、 \(\cfrac{\dot{V}}{R}\) は無視して良い。

上の式は次のようになる。
\(\dot{I}=\cfrac{\dot{V}}{jωL}+jωC\dot{V}=\left(\cfrac{1}{jωL}+jωC\right)\dot{V}\)

\(\dot{I}=\left(jωC-j\cfrac{1}{ωL}\right)\dot{V}\)

\(\dot{I}=j\left(ωC-\cfrac{1}{ωL}\right)\dot{V}\)

誘導性リアクタンス　\(ωL\)　の大きさは、容量性リアクタンス　\(\cfrac{1}{ωC}\)　の２倍なので、電流比　\(I_L：I_C=1：2\)　となるので　\(I_C\)　の方が大きいことがわかります。

上の式に　\(ωL=\cfrac{2}{ωC}\)　を代入すると

\(\dot{I}=j\left(ωC-\cfrac{1}{\cfrac{2}{ωC}}\right)\dot{V}\)

\(\dot{I}=j\left(ωC-\cfrac{ωC}{2}\right)\dot{V}\)

\(\dot{I}=j\cfrac{1}{2}ωC\dot{V}\)

故に　\(\dot{I}\)　は　\(\dot{V}\)　[V]　より　90°位相が進みます。
（　\(+j\)　は90°進みを意味する。　\(-j\)　は90°遅れを意味します。）

図２の正解は　ウの
電流が電圧より進んでいる。　になります。

図３の正解は　カの
電流が電圧より進んでいる。　になります。

以上のことから、ウ　と　カ　が正しいので、

正解は（５）になります。