電験三種 H25年 理論 問15(三相交流回路)

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電験三種 H25年 理論 問15(三相交流回路)


問 15
図1のように、周波数50[Hz]、電圧200[V]の対称三相交流電源に、インダクタンス 7.96 [mH]のコイルと 6[Ω]の抵抗からなる平衡三相負荷を接続した交流回路がある。
次の(a)及び(b)の問に答えよ。

 

(a)図1において、三相負荷が消費する有効電力 P[W]の値として、最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

 

(1) 1890
(2) 3280
(3) 4020
(4) 5680
(5) 9840

 

(b) 図2のように、静電容量 C[F]のコンデンサを Δ結線し、その端子 a’、b’及び c’をそれぞれ図1の端子 a、b及び cに接続した。
その結果、三相交流電源からみた負荷の力率が 1になった。
静電容量 C[F]の値として、最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

 

(1) 6.28 × 10-5
(2) 8.88 × 10-5
(3) 1.08 × 10-4
(4) 1.26 × 10-4
(5) 1.88 × 10-4

 

 

 


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問 15
図1のように、周波数50[Hz]、電圧200[V]の対称三相交流電源に、インダクタンス 7.96 [mH]のコイルと 6[Ω]の抵抗からなる平衡三相負荷を接続した交流回路がある。
次の(a)及び(b)の問に答えよ。

 

(a)図1において、三相負荷が消費する有効電力 P[W]の値として、最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

 

(1) 1890
(2) 3280
(3) 4020
(4) 5680
(5) 9840

 

(b) 図2のように、静電容量 C[F]のコンデンサを Δ結線し、その端子 a’、b’及び c’をそれぞれ図1の端子 a、b及び cに接続した。
その結果、三相交流電源からみた負荷の力率が 1になった。
静電容量 C[F]の値として、最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

 

(1) 6.28 × 10-5
(2) 8.88 × 10-5
(3) 1.08 × 10-4
(4) 1.26 × 10-4
(5) 1.88 × 10-4

 

<解答>
問(a)
三相電力は単相電力の3倍になります。
図1の電源側をΔ-Y変換をして、一相分を取り出した等価回路は次のようになります。

誘導性リアクタンスの値は
$X_L=2\pi fL=100\pi×7.96×10^{-3}≒2.5 Ω$

 

インピーダンスを$Z$とすると
$Z=\sqrt{R^2+X_L^2}=\sqrt{6^2+2.5^2}=6.5 Ω$

 

回路に流れる電流は
$I=\cfrac{\cfrac{200}{\sqrt3}}{Z}=\cfrac{200}{\sqrt3×6.5}≒17.76 A$

 

三相負荷の消費する電力は
$P=3I^2R=3×17.76^2×6≒5678 W$

 

問(a) の答えは(4) になります。

 

問(b)
図2のΔ接続のコンデンサを、Y変換を接続に変換します。
Y接続に変換したリアクタンスを$X_{CY}$ とすると
$X_{CY}=\cfrac{1}{3}X_C=\cfrac{1}{j3ωC}$

 

コンデンサをY接続に変換したことで、静電容量は3倍になります。
接続されたコンデンサは、元のインピーダンスに並列に接続されるので次のようになります。

 

図の合成インピーダンスを求めるれば良いのですが、複素数の計算ではアドミタンスの方が計算が簡単になります。
合成アドミタンスを $Y [S]$ とすると
\begin{align}
\dot{Y}&=\cfrac{1}{R+X_L}+\cfrac{1}{X_{CY}}\\
&=\cfrac{1}{R+jωL}+j3ωC\\
&=\cfrac{R-jωL}{(R+jωL)(R-jωL)}+j3ωC\\
&=\cfrac{R-jωL}{R^2+(ωL)^2}+j3ωC\\
&=\cfrac{R}{R^2+(ωL)^2}+jω\left(3C-\cfrac{L}{R^2+(ωL)^2}\right)
\end{align}

 

負荷の力率が 1 になったということは、虚数部が 0 であることになりますので次の式が成り立ちます。
\begin{align}
&\left(3C-\cfrac{L}{R^2+(ωL)^2}\right)=0\\
3C&=\cfrac{L}{R^2+(ωL)^2}\\
C&=\cfrac{L}{3(R^2+(ωL)^2)}
\end{align}
この式に数値を入れて計算します。
\begin{align}
C&=\cfrac{L}{3(R^2+(ωL)^2)}\\
&=\cfrac{7.96×10^{-3}}{3(6^2+(2π×50×7.96×10^{-3})^2}\\\\
&≒6.28×10^{-5} F
\end{align}
問(b) の答えは(1) になります。

 

正解は問aが(4)、問bが(1)

 

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