H25 理論 問9(RLC回路の波形)




H25 理論 問9(RLC回路の波形)

問 9
図1のように、R[Ω]の抵抗、インダクタンス L[H]のコイル、静電容量 C[F]のコンデンサからなる並列回路がある。

この回路に角周波数 \(ω\)[rad/s]の交流電圧 v[V]を加えたところ、この回路に流れる電流は \(i\)[A]であった。

電圧 v[V]及び電流 \(i\)[A]のベクトルをそれぞれ電圧 \(\dot{V}\)[V]と電流 \(\dot{I}\)[A]とした場合、両ベクトルの関係を示す図2(ア、イ、ウ)及び v[V]と \(i\)[A]の時間 t[s]の経過による変化を示す図3(エ、オ、カ)の組合せとして、正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

ただし、R≫ωL 及び \(ωL=\cfrac{2}{ωC}\) とし、一切の過渡現象は無視するものとする。



解 答

回路に流れる電流 \(\dot{I}\) [A] は次のように表される。

\(\dot{I}=\cfrac{\dot{V}}{\dot{Z}}=\cfrac{\dot{V}}{R}+\cfrac{\dot{V}}{jωL}+jωC\dot{V}\)

問題文に、\(R\ggωL\) (\(\gg\)) は、非常に大きいの意)なので、 \(\cfrac{\dot{V}}{R}\) は無視して良い。

上の式は次のようになる。

\(\dot{I}=\cfrac{\dot{V}}{jωL}+jωC\dot{V}=\left(\cfrac{1}{jωL}+jωC\right)\dot{V}\)

\(\dot{I}=\left(jωC-j\cfrac{1}{ωL}\right)\dot{V}\)

\(\dot{I}=j\left(ωC-\cfrac{1}{ωL}\right)\dot{V}\)

誘導性リアクタンス ωL の大きさは、容量性リアクタンス \(\cfrac{1}{ωC}\) の2倍なので、電流比

\(I_L:I_C=1:2\) となるので、\(I_C\) の方が大きいことがわかります。

上の式に、\(ωL=\cfrac{2}{ωC}\) を代入すると

\(\dot{I}=j\left(ωC-\cfrac{1}{\cfrac{2}{ωC}}\right)\dot{V}\)

\(\dot{I}=j\left(ωC-\cfrac{ωC}{2}\right)\dot{V}\)

\(\dot{I}=j\cfrac{1}{2}ωC\dot{V}\)

\(\therefore \dot{I}\) は \(\dot{V}\) [V] より90°位相が進む。
(j は90°進みを意味する。-j は90°遅れを意味します。)

図2の 

ア は電流が電圧より遅れている。
イ は電流と電圧が同相。
ウ は電流が電圧より進んでいる。 これが、正解です。

図3
エ は電流と電圧が同相。
オ は電流が電圧より遅れている。
カ は電流が電圧より進んでいる。 これが、正解です

以上のことから、ウ と カ が正しいので、

正解は(5)




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