H25年 理論 問9(RLC回路の波形)

H25年 理論 問9(RLC回路の波形)

問 9
図1のように \(R\) [Ω] の抵抗、インダクタンス \(L\) [H] のコイル、静電容量 \(C\) [F] のコンデンサからなる並列回路がある。

この回路に角周波数 \(ω\) [rad/s] の交流電圧 \(v\) [V] を加えたところ、この回路に流れる電流は \(i\) [A] であった。

電圧 \(v\) [V] 及び電流 \(i\) [A] のベクトルをそれぞれ電圧 \(\dot{V}\)[V]と電流 \(\dot{I}\)[A]とした場合、両ベクトルの関係を示す図2(ア、イ、ウ)及び \(v\) [V] と \(i\) [A] の時間 \(t\) [s] の経過による変化を示す図3(エ、オ、カ)の組合せとして、正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

ただし、\(R≫ωL\) 及び \(ωL=\cfrac{2}{ωC}\) とし、一切の過渡現象は無視するものとする。



解 答

回路に流れる電流 \(\dot{I}\) [A] は次のように表される。
\(\dot{I}=\cfrac{\dot{V}}{\dot{Z}}\)\(=\cfrac{\dot{V}}{R}+\cfrac{\dot{V}}{jωL}+jωC\dot{V}\)

問題文に、\(R\ggωL\) ( \(\gg\) は、非常に大きいの意味)なので、 \(\cfrac{\dot{V}}{R}\) は無視して良い。

上の式は次のようになる。
\(\dot{I}=\cfrac{\dot{V}}{jωL}+jωC\dot{V}=\left(\cfrac{1}{jωL}+jωC\right)\dot{V}\)

\(\dot{I}=\left(jωC-j\cfrac{1}{ωL}\right)\dot{V}\)

\(\dot{I}=j\left(ωC-\cfrac{1}{ωL}\right)\dot{V}\)

誘導性リアクタンス \(ωL\) の大きさは、容量性リアクタンス \(\cfrac{1}{ωC}\) の2倍なので、電流比 \(I_L:I_C=1:2\) となるので \(I_C\) の方が大きいことがわかります。

上の式に \(ωL=\cfrac{2}{ωC}\) を代入すると

\(\dot{I}=j\left(ωC-\cfrac{1}{\cfrac{2}{ωC}}\right)\dot{V}\)

\(\dot{I}=j\left(ωC-\cfrac{ωC}{2}\right)\dot{V}\)

\(\dot{I}=j\cfrac{1}{2}ωC\dot{V}\)

故に \(\dot{I}\) は \(\dot{V}\) [V] より 90°位相が進みます。
( \(+j\) は90°進みを意味する。 \(-j\) は90°遅れを意味します。)


図2の正解は ウの
電流が電圧より進んでいる。 になります。

図3の正解は カの
電流が電圧より進んでいる。 になります。

以上のことから、ウ と カ が正しいので、

正解は(5)になります。

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