電験三種　H24年　理論　問15　問題と解説

問１５

問 15

図のように、三つの平行平板コンデンサを直並列に接続した回路がある。

ここで、それぞれのコンデンサの極板の形状及び面積は同じであり、極板間には同一の誘電体が満たされている。

なお、コンデンサの初期電荷は零とし、端効果は無視できるものとする。

いま、端子 a-b 間に直流電圧 300 [V] を加えた。

このとき、次の (a) 及び (b) の問に答えよ。

(a)　静電容量が　\(4\)　[uF]　のコンデンサに蓄えられる電荷　\(Q\)　[C]　の値として、正しいものを次の（1）～（5）のうちから一つ選べ。

(1) \(1.2×10^{-4}\)　　　　(2) \(2×10^{-4}\)　　　　　(3) \(2.4×10^{-4}\)
(4) \(3×10^{-4}\)　　　　　(5) \(4×10^{-4}\)

(b)　静電容量がのコンデンサの極板間の電界の強さは、のコンデンサの極板間の電界の強さの何倍か。倍率として、正しいものを次の（1）～（5）のうちから一つ選べ。

(1)　\(\cfrac{3}{4}\)　　　　　　　　(2)　1.0　　　　　　　(3)　\(\cfrac{4}{3}\)
(4)　\(\cfrac{3}{2}\)　　　　　　　　(5)　2.0

(a) の問題

コンデンサの静電容量の計算

直列接続のとき　\(\cdots \cfrac{1}{C}=\cfrac{1}{C_1}+\cfrac{1}{C_2}\cdots\cfrac{1}{C_n}\)

並列接続のとき　\(\cdots C=C_1+C_2 \cdots C_n\)　です。

問題の回路は次のような等価回路になります。

次の図のように、直列接続のコンデンサに蓄えられる電荷　\(Q\)　[C]　は同じです。

\(Q=CV\) から

\(Q=C_1V_1=C_2V_2=3V_1=6V_2\)　が成り立ちます。

\(V_1+V_2=300\)　から　\(V_1=300-V_2\)　を上の式に代入すると

\(3×(300-V_2)=6×V_2\)

\(V_2=100\)　[V]

\(4 [uF]\) のコンデンサに蓄えられる電荷は

\(Q=CV=4×10^{-6}×100=4×10^{-4}\)　[C]　となります。

(a) の答え（５）になります。

(b) の問題

電界の強さ　\(E\)　[V/m]、電圧　\(V\)　[V]、極板間の距離　\(d\)　[m]　とすると
\(E=\cfrac{V}{d}\)　で表されます。

\(3\)　[uF]　のコンデンサの電界の強さを　\(E_1\)、極板間の距離　\(d_1\)

\(4\)　[uF]　のコンデンサの電界の強さを　\(E_2\)、極板間の距離　\(d_2\)　とすると

\(E_1=\cfrac{V_1}{d_1}=\cfrac{200}{d_1}\)

\(E_2=\cfrac{V_2}{d_2}=\cfrac{100}{d_2}\)　になります。

コンデンサの静電容量を　\(C\)　[F]、誘電率　\(ε\)　[F/m]、極板の面積　\(S\)　[m²]、極板間の距離　\(d\)　[m]　とすると

\(C=ε\cfrac{S}{d}\)　[F]

\(3\)　[uF]　のコンデンサを　\(C_1\)

\(4\)　[uF]　のコンデンサを　\(C_2\)　とすると

\(C_1=ε\cfrac{S}{d_1}\)　→　\(d_1=ε\cfrac{S}{C_1}\)

\(C_2=ε\cfrac{S}{d_2}\)　→　\(d_2=ε\cfrac{S}{C_2}\)

問題文に、コンデンサの形状と面積が同じで、同一の誘電体とあるので、電界の強さを比較すると

\(\cfrac{E_1}{E_2}=\cfrac{\cfrac{V_1}{d_1}}{\cfrac{V_2}{d_2}}=\cfrac{V_1}{V_2}×\cfrac{\cfrac{εS}{C_2}}{\cfrac{εS}{C_1}}=\cfrac{V_1C_1}{V_2C_2}\)

\(\cfrac{E_1}{E_2}=\cfrac{200×3×10^{-6}}{100×4×10^{-6}}=\cfrac{3}{2}\)

正解は（４）になります。