問１５
問 15
図のように、三つの平行平板コンデンサを直並列に接続した回路がある。
ここで、それぞれのコンデンサの極板の形状及び面積は同じであり、極板間には同一の誘電体が満たされている。
なお、コンデンサの初期電荷は零とし、端効果は無視できるものとする。
いま、端子 a-b 間 に直流電圧 300 [V] を加えた。
このとき、次の (a) 及び (b) の問に答えよ。
(a) 静電容量が \(4\) [uF] のコンデンサに蓄えられる電荷 \(Q\) [C] の値として、正しいものを次の（1）～（5）のうちから一つ選べ。
(1) \(1.2×10^{-4}\) (2) \(2×10^{-4}\) (3) \(2.4×10^{-4}\)
(4) \(3×10^{-4}\) (5) \(4×10^{-4}\)
(b) 静電容量がのコンデンサの極板間の電界の強さは、のコンデンサの極板間の電界の強さの何倍か。倍率として、正しいものを次の（1）～（5）のうちから一つ選べ。
(1) \(\cfrac{3}{4}\) (2) 1.0 (3) \(\cfrac{4}{3}\)
(4) \(\cfrac{3}{2}\) (5) 2.0
＜解答例＞
(a) の問題
コンデンサの静電容量の計算
直列接続のとき \(\cdots \cfrac{1}{C}=\cfrac{1}{C_1}+\cfrac{1}{C_2}\cdots\cfrac{1}{C_n}\)
並列接続のとき \(\cdots C=C_1+C_2 \cdots C_n\) です。
問題の回路は次のような等価回路になります。
次の図のように、直列接続のコンデンサに蓄えられる電荷 \(Q\) [C] は同じです。
\(Q=CV\) から
\(Q=C_1V_1=C_2V_2=3V_1=6V_2\) が成り立ちます。
\(V_1+V_2=300\) から \(V_1=300-V_2\) を上の式に代入すると
\(3×(300-V_2)=6×V_2\)
\(V_2=100\) [V]
\(4 [uF]\) のコンデンサに蓄えられる電荷は
\(Q=CV=4×10^{-6}×100=4×10^{-4}\) [C] となります。
(a) の答え（５）になります。
(b) の問題
電界の強さ \(E\) [V/m]、電圧 \(V\) [V]、極板間の距離 \(d\) [m] とすると
\(E=\cfrac{V}{d}\) で表されます。
\(3\) [uF] のコンデンサの電界の強さを \(E_1\)、極板間の距離 \(d_1\)
\(4\) [uF] のコンデンサの電界の強さを \(E_2\)、極板間の距離 \(d_2\) とすると
\(E_1=\cfrac{V_1}{d_1}=\cfrac{200}{d_1}\)
\(E_2=\cfrac{V_2}{d_2}=\cfrac{100}{d_2}\) になります。
コンデンサの静電容量を \(C\) [F]、誘電率 \(ε\) [F/m]、極板の面積 \(S\) [m2]、極板間の距離 \(d\) [m] とすると
\(C=ε\cfrac{S}{d}\) [F]
\(3\) [uF] のコンデンサを \(C_1\)
\(4\) [uF] のコンデンサを \(C_2\) とすると
\(C_1=ε\cfrac{S}{d_1}\) → \(d_1=ε\cfrac{S}{C_1}\)
\(C_2=ε\cfrac{S}{d_2}\) → \(d_2=ε\cfrac{S}{C_2}\)
問題文に、コンデンサの形状と面積が同じで、同一の誘電体とあるので、電界の強さを比較すると
\(\cfrac{E_1}{E_2}=\cfrac{\cfrac{V_1}{d_1}}{\cfrac{V_2}{d_2}}=\cfrac{V_1}{V_2}×\cfrac{\cfrac{εS}{C_2}}{\cfrac{εS}{C_1}}=\cfrac{V_1C_1}{V_2C_2}\)
\(\cfrac{E_1}{E_2}=\cfrac{200×3×10^{-6}}{100×4×10^{-6}}=\cfrac{3}{2}\)
正解は（４）になります。