電験三種　H24年　理論　問10　問題と解説

問１０

問 10

図のように、\(R_1=20\)　[Ω]　と　\(R_2=30\)　[Ω]　の抵抗、静電容量　\(C=\cfrac{1}{100π}\)　[F]　のコンデンサ、インダクタンス　\(L=\cfrac{1}{4π}\)　[H]　のコイルからなる回路に周波数　\(f\)　[Hz]　実効値　\(V\)　[V]　が一定の交流電圧を加えた。

\(f\)=10　 [Hz]　のときに　\(R_1\)　を流れる電流の大きさを　\(I_{10Hz}\)　[A]、\(f\)=10　[MHz]　のときに　\(R_1\)　を流れる電流の大きさを　\(I_{10MHz}\)　[A]　とする。

このとき、電流比　\(\cfrac{I_{10Hz}}{I_{10MHz}}\)　の値として、最も近いものを次の（1）～（5）のうちから一つ選べ。

＜解答例＞

この問題は、周波数の異なる電圧を加えたときに、回路に流れる電流を比較する問題です。

この回路の合成インピーダンスは、\(R_2\)　と　\(L\)　と　\(C\) の並列接続に　\(R_1\)　が直列に接続されています。

■　周波数　\(f\)=10　[Hz]　のとき
周波数　\(f=10\)　[Hz]　のときの回路のインピーダンスを　\(Z_{10Hz}\)　[Ω]　として値を求めます。

\(Z_{10Hz}=R_1+\cfrac{1}{\cfrac{1}{R_2}+\cfrac{1}{jωL}+jωC}\)

\(=R_1+\cfrac{1}{\cfrac{1}{R_2}+\cfrac{1}{j2πfL}+j2πfC}\)

\(=20+\cfrac{1}{\cfrac{1}{30}-j\cfrac{1}{5}+j\cfrac{1}{5}}=50\)　[Ω]

\(R_1\)　に流れる電流を　\(I_{10Hz}\)　[A]　とすると、次のようになります。

\(I_{10Hz}=\cfrac{V}{Z_{10Hz}}=\cfrac{V}{50}\)　[A]

■　周波数　\(f\)=10　[MHz]　のとき
周波数　\(f=10\)　[MHz]　のときの回路のインピーダンスを　\(Z_{10MHz}\)　[Ω]　として値を求めます。

\(Z_{10MHz}\)

\(=20+\cfrac{1}{\cfrac{1}{30}-j2×10^{-7}+j2×10^5}\)

上の式のプラスから右の式　\(\cfrac{1}{\cfrac{1}{30}-j2×10^{-7}+j2×10^5}\)　は非常に小さくなるので
\(Z_{10MHz}≒20\)　[Ω]　となる。

\(R_1\)　に流れる電流を　\(I_{10MHz}\)　[A]　とすると、次のようになります。

\(I_{10MHz}≒\cfrac{V}{Z_{10MHz}}=\cfrac{V}{20}\)　[A]

したがって、電流比は
\(\cfrac{I_{10Hz}}{I_{10MHz}}=\cfrac{\cfrac{V}{50}}{\cfrac{V}{20}}=0.4\)　[A]

正解は（１）になります。