電験三種　H24年　理論　問2　問題と解説

問２

問 ２

極板A-B間が誘電率　\(ε_0\)　[F/m]　の空気で満たされている平行平板コンデンサの空気ギャップ長を　\(d\)　[m]、静電容量を　\(C_0\)　[F]　とし、極板間の直流電圧を　\(V_0\)　[V]　とする。

極板と同じ形状と面積を持ち、厚さが　\(\cfrac{d}{4}\)　[m]、誘電率　\(ε_1\)　[F/m]　の固体誘電体　( \(ε_1＞ε_0\))　を図に示す位置　P-Q　間に極板と平行に挿入すると、コンデンサ内の電位分布は変化し、静電容量は　\(C_1\)　[F]　に変化した。

このとき、誤っているものを次の (1)～(5) のうちから一つ選べ。

ただし、空気の誘電率を　\(ε_0\)、コンデンサの端効果は無視できるものとし、直流電圧　\(V_0\)　[V]　は一定とする。

（1）　位置Pの電位は、固体誘電体を挿入する前の値よりも低下する。

（2）　位置Qの電位は、固体誘電体を挿入する前の値よりも上昇する。

（3）　静電容量は \(C_1\)　[F]、 \(C_0\)　[F]　よりも大きくなる。

（4）　固体誘電体を導体に変えた場合、位置P の電位は固体誘電体又は導体を挿入する前の値よりも上昇する。

（5）　固体誘電体を導体に変えた場合の静電容量　\(C_2\)　[F]　は、 \(C_0\)　[F]　よりも大きくなる。

＜解答例＞

静電容量は公式から
\(C=ε\cfrac{S}{d}\)　[F]

\(C\)：静電容量　[F]
\(ε\)：誘電率
\(S\)：電極板の面積　[m²]
\(d\)：電極板の距離　[m]

■　固体誘電体の挿入前

固体誘電体を挿入する前の静電容量　\(C_0\)　は、極板の面積を　\(A\)　[m²]　とすると

\(C_0=ε_0\cfrac{A}{d}\)　[F]　\(\cdots(1)\)

電極A、B間は平等電界なので、電位の式　\(V=Ed\)　[V]　から分かるように、電位は距離に比例する。

P点の電位を　\(V_P\)　とすると、\(V_0\)　に対して
\(V_P=\cfrac{3}{4}V_0 \cdots(2)\)

同様にして、 \(V_Q\)　の電位は

\(V_Q=\cfrac{1}{2}V_0 \cdots(3)\)

■　固体誘電体の挿入後

＜手順＞

1. 合成静電容量　\(C_1\)　を求める。
2. 位置Pの電位を求める。
3. 固体誘電体の挿入前の位置Pの電位と比較する。
4. 位置Qについて同様に行なう。

固体誘電体を挿入した後は、各コンデンサの直列接続になります。

各コンデンサの静電容量を求めると、次のようになります。

\(\qquad C_a=ε_0\cfrac{A}{\cfrac{d}{4}}=ε_0\cfrac{4A}{d}\)

\(\qquad C_b=ε_1\cfrac{A}{\cfrac{d}{4}}=ε_1\cfrac{4A}{d}\)

\(\qquad C_c=ε_0\cfrac{A}{\cfrac{d}{2}}=ε_0\cfrac{2A}{d}\)

合成静電容量　\(C_1\)　[F]　は
\(\cfrac{1}{C_1}=\cfrac{1}{C_a}+\cfrac{1}{C_b}+\cfrac{1}{C_c}\)

\(=\cfrac{d}{4ε_0A}=\cfrac{d}{4ε_1A}+\cfrac{d}{2ε_0A}\)

\(\cfrac{1}{C_1}=\cfrac{3d}{4ε_0A}+\cfrac{d}{4ε_1A}\) 式を変形すると

\(C_1=\cfrac{1}{\cfrac{3d}{4ε_0A}+\cfrac{d}{4ε_1A}}\)　分母、分子に　\(4ε_0ε_1A\)　を掛けて整理

\(C_1=ε_0\cfrac{A}{d}×\cfrac{4}{3+\cfrac{ε_0}{ε_1}} \cdots(4)\)

コンデンサの直列接続になりますので、電荷　\(Q\)　[C]　は一定になります。
\(Q=C_1V_0=ε_0\cfrac{A}{d}×\cfrac{4V_0}{3+\cfrac{ε_0}{ε_1}} \)

位置Pの電位を　\(V_{P1}\)　[V]　とすると、次の式のようになります。
\(V_{P1}=V_0-\cfrac{Q}{C_a}\)

\(=V_0-\cfrac{ε_0\cfrac{A}{d}×\cfrac{4V_0}{3+\cfrac{ε_0}{ε_1}}}{ε_0\cfrac{4A}{d}}=V_0-\cfrac{\cfrac{4V_0}{3+\cfrac{ε_0}{ε_1}}}{4}\)

\(V_{P1}=V_0\left(1-\cfrac{1}{3+\cfrac{ε_0}{ε_1}} \right) \cdots(5)\)

\(V_P=\cfrac{3}{4}V_0 \cdots(2)\)

式(2) と式(5) を比較して見ると

式(5) において、問題文から \(\cfrac{ε_0}{ε_1}<1 \) なので

\(\left(1-\cfrac{1}{3+\cfrac{ε_0}{ε_1}} \right)<\cfrac{3}{4} \)

であることがわかります。

したがって、式(5) は式(2) より値が小さくなるので、問題文の (1) は正しい。

次に、位置　\(Q\)　の電位を　\(V_{Q1}\)　[V]　とすると次の式のようになります。
\(V_{Q1}=\cfrac{Q}{C_c}\)

\(=\cfrac{ε_0\cfrac{A}{d}×\cfrac{4V_0}{3+\cfrac{ε_0}{ε_1}}}{ε_0\cfrac{2A}{d}}\)

\(V_{Q1}=\cfrac{1}{2}V_0×\cfrac{4}{3+\cfrac{ε_0}{ε_1}} \cdots(6)\)

\(V_Q=\cfrac{1}{2}V_0 \cdots(3)\)

式(3) と式(6) を比較して見ると

式(6) において、問題文から　\(\cfrac{ε_0}{ε_1}<1 \)　なので、式(6) は　\(\cfrac{1}{2}V_0 \)　より大きくなります。

したがって、問題文の (2) は正しい。

静電容量　\(C_0とC_1\)　を比較すると
\(C_0=ε_0\cfrac{A}{d}\)　[F] \(\cdots(1)\)

\(C_1=ε_0\cfrac{A}{d}×\cfrac{4}{3+\cfrac{ε_0}{ε_1}} \cdots(4)\)

式(4) の　\(\cfrac{4}{3+\cfrac{ε_0}{ε_1}}>1 \)　なので 式(4) は式(1) より大きくなります。

したがって、問題文の (3) は正しい。

■　固体誘電体を導体に変えたとき

図で分かるように、導体にしたことにより極板の間隔　\(\cfrac{d}{4}\)　[m]　が狭くなり

等価回路の　\(C_b\)　[F]　がなくなったことになります。

合成静電容量を　\(C_2\)　[F]　とすると、和分の積から

\(C_2=\cfrac{C_aC_c}{C_a+C_c}\)\(=\cfrac{ε_0\cfrac{4A}{d}×ε_0\cfrac{2A}{d}}{ε_0\cfrac{4A}{d}+ε_0\cfrac{2A}{d} }\)

\(C_2=\cfrac{4}{3}×\cfrac{ε_0A}{d} \cdots(7)\)

\(C_0=ε_0\cfrac{A}{d}　[F] \cdots(1)\)

電荷　\(Q\)　[C]　は同じですから　\(Q=C_2V_0\)　になります。

位置Pの電位を　\(V_{P2} \)　とすると、

\(V_{P2}=\cfrac{Q}{C_c}=\cfrac{C_2}{C_c}V_0\)\(=\cfrac{\cfrac{4}{3}×\cfrac{ε_0A}{d}} {ε_0\cfrac{2A}{d} }V_0\)

\(V_{P2}=\cfrac{2}{3}V_0 \cdots(8)\)

\(V_P=\cfrac{3}{4}V_0 \cdots(2)\)

式(2) と 式(8) を比較すると 式(2) > 式(8)　\((V_P>V_{P2})\)　なので、問題文の (4) は誤りになる。

静電容量は式(1) と 式(7) を比較すると 式(1) < 式(7)　\((C_0< C_2)\)　なので、問題文の (5) は正しい。

正解は（４）になります。