問２
問 ２
極板A-B間が誘電率 \(ε_0\) [F/m] の空気で満たされている平行平板コンデンサの空気ギャップ長を \(d\) [m]、静電容量を \(C_0\) [F] とし、極板間の直流電圧を \(V_0\) [V] とする。
極板と同じ形状と面積を持ち、厚さが \(\cfrac{d}{4}\) [m]、誘電率 \(ε_1\) [F/m] の固体誘電体 ( \(ε_1＞ε_0\)) を図に示す位置 P-Q 間に極板と平行に挿入すると、コンデンサ内の電位分布は変化し、静電容量は \(C_1\) [F] に変化した。
このとき、誤っているものを次の (1)～(5) のうちから一つ選べ。
ただし、空気の誘電率を \(ε_0\)、コンデンサの端効果は無視できるものとし、直流電圧 \(V_0\) [V] は一定とする。
（1） 位置Pの電位は、固体誘電体を挿入する前の値よりも低下する。
（2） 位置Qの電位は、固体誘電体を挿入する前の値よりも上昇する。
（3） 静電容量は \(C_1\) [F]、 \(C_0\) [F] よりも大きくなる。
（4） 固体誘電体を導体に変えた場合、位置P の電位は固体誘電体又は導体を挿入する前の値よりも上昇する。
（5） 固体誘電体を導体に変えた場合の静電容量 \(C_2\) [F] は、 \(C_0\) [F] よりも大きくなる。
＜解答例＞
静電容量は公式から
\(C=ε\cfrac{S}{d}\) [F]
\(C\)：静電容量 [F]
\(ε\)：誘電率
\(S\)：電極板の面積 [m2]
\(d\)：電極板の距離 [m]
●固体誘電体の挿入前
固体誘電体を挿入する前の静電容量 \(C_0\) は、極板の面積を \(A\) [m2] とすると
\(C_0=ε_0\cfrac{A}{d}\) [F] \(\cdots(1)\)
電極A、B間は平等電界なので、電位の式 \(V=Ed\) [V] から分かるように、電位は距離に比例する。
P点の電位を \(V_P\) とすると、\(V_0\) に対して
\(V_P=\cfrac{3}{4}V_0 \cdots(2)\)
同様にして、 \(V_Q\) の電位は
\(V_Q=\cfrac{1}{2}V_0 \cdots(3)\)
■ 固体誘電体の挿入後
＜手順＞
- 合成静電容量 \(C_1\) を求める。
- 位置Pの電位を求める。
- 固体誘電体の挿入前の位置Pの電位と比較する。
- 位置Qについて同様に行なう。
固体誘電体を挿入した後は、各コンデンサの直列接続になります。
各コンデンサの静電容量を求めると、次のようになります。
\(\qquad C_a=ε_0\cfrac{A}{\cfrac{d}{4}}=ε_0\cfrac{4A}{d}\)
\(\qquad C_b=ε_1\cfrac{A}{\cfrac{d}{4}}=ε_1\cfrac{4A}{d}\)
\(\qquad C_c=ε_0\cfrac{A}{\cfrac{d}{2}}=ε_0\cfrac{2A}{d}\)
合成静電容量 \(C_1\) [F] は
\(\cfrac{1}{C_1}=\cfrac{1}{C_a}+\cfrac{1}{C_b}+\cfrac{1}{C_c}\)
\(=\cfrac{d}{4ε_0A}=\cfrac{d}{4ε_1A}+\cfrac{d}{2ε_0A}\)
\(\cfrac{1}{C_1}=\cfrac{3d}{4ε_0A}+\cfrac{d}{4ε_1A}\) 式を変形すると
\(C_1=\cfrac{1}{\cfrac{3d}{4ε_0A}+\cfrac{d}{4ε_1A}}\) 分母、分子に \(4ε_0ε_1A\) を掛けて整理
\(C_1=ε_0\cfrac{A}{d}×\cfrac{4}{3+\cfrac{ε_0}{ε_1}} \cdots(4)\)
コンデンサの直列接続になりますので、電荷 \(Q\) [C] は一定になります。
\(Q=C_1V_0=ε_0\cfrac{A}{d}×\cfrac{4V_0}{3+\cfrac{ε_0}{ε_1}} \)
位置Pの電位を \(V_{P1}\) [V] とすると、次の式のようになります。
\(V_{P1}=V_0-\cfrac{Q}{C_a}\)
\(=V_0-\cfrac{ε_0\cfrac{A}{d}×\cfrac{4V_0}{3+\cfrac{ε_0}{ε_1}}}{ε_0\cfrac{4A}{d}}=V_0-\cfrac{\cfrac{4V_0}{3+\cfrac{ε_0}{ε_1}}}{4}\)
\(V_{P1}=V_0\left(1-\cfrac{1}{3+\cfrac{ε_0}{ε_1}} \right) \cdots(5)\)
\(V_P=\cfrac{3}{4}V_0 \cdots(2)\)
式(2) と式(5) を比較して見ると
式(5) において、問題文から \(\cfrac{ε_0}{ε_1}<1 \) なので
\(\left(1-\cfrac{1}{3+\cfrac{ε_0}{ε_1}} \right)<\cfrac{3}{4} \)
であることがわかります。
したがって、式(5) は式(2) より値が小さくなるので、問題文の (1) は正しい。
次に、位置 \(Q\) の電位を \(V_{Q1}\) [V] とすると次の式のようになります。
\(V_{Q1}=\cfrac{Q}{C_c}\)
\(=\cfrac{ε_0\cfrac{A}{d}×\cfrac{4V_0}{3+\cfrac{ε_0}{ε_1}}}{ε_0\cfrac{2A}{d}}\)
\(V_{Q1}=\cfrac{1}{2}V_0×\cfrac{4}{3+\cfrac{ε_0}{ε_1}} \cdots(6)\)
\(V_Q=\cfrac{1}{2}V_0 \cdots(3)\)
式(3) と式(6) を比較して見ると
式(6) において、問題文から \(\cfrac{ε_0}{ε_1}<1 \) なので、式(6) は \(\cfrac{1}{2}V_0 \) より大きくなります。
したがって、問題文の (2) は正しい。
静電容量 \(C_0とC_1\) を比較すると
\(C_0=ε_0\cfrac{A}{d}\) [F] \(\cdots(1)\)
\(C_1=ε_0\cfrac{A}{d}×\cfrac{4}{3+\cfrac{ε_0}{ε_1}} \cdots(4)\)
式(4) の \(\cfrac{4}{3+\cfrac{ε_0}{ε_1}}>1 \) なので 式(4) は式(1) より大きくなります。
したがって、問題文の (3) は正しい。
■ 固体誘電体を導体に変えたとき
図で分かるように、導体にしたことにより極板の間隔 \(\cfrac{d}{4}\) [m] が狭くなり
等価回路の \(C_b\) [F] がなくなったことになります。
合成静電容量を \(C_2\) [F] とすると、和分の積から
\(C_2=\cfrac{C_aC_c}{C_a+C_c}\)\(=\cfrac{ε_0\cfrac{4A}{d}×ε_0\cfrac{2A}{d}}{ε_0\cfrac{4A}{d}+ε_0\cfrac{2A}{d} }\)
\(C_2=\cfrac{4}{3}×\cfrac{ε_0A}{d} \cdots(7)\)
\(C_0=ε_0\cfrac{A}{d} [F] \cdots(1)\)
電荷 \(Q\) [C] は同じですから \(Q=C_2V_0\) になります。
位置Pの電位を \(V_{P2} \) とすると、
\(V_{P2}=\cfrac{Q}{C_c}=\cfrac{C_2}{C_c}V_0\)\(=\cfrac{\cfrac{4}{3}×\cfrac{ε_0A}{d}} {ε_0\cfrac{2A}{d} }V_0\)
\(V_{P2}=\cfrac{2}{3}V_0 \cdots(8)\)
\(V_P=\cfrac{3}{4}V_0 \cdots(2)\)
式(2) と 式(8) を比較すると 式(2) > 式(8) \((V_P>V_{P2})\) なので、問題文の (4) は誤りになる。
静電容量は式(1) と 式(7) を比較すると 式(1) < 式(7) \((C_0< C_2)\) なので、問題文の (5) は正しい。
正解は（４）になります。