電験三種　H21年　理論　問8　問題と解説

問８

電験三種過去問題の平成21年　理論の問8　抵抗とコイルの回路に流れる電流の位相差に関する問題です。

問 8

図のように　\(R=\sqrt{3}ωL\)　[Ω]　の抵抗、インダクタンス　\(L\)　[H]　のコイル、スイッチ S が角周波数　\(ω\)　[rad/s]　の交流電圧　\(\dot{E}\)　の電源に接続されている。

スイッチ S を開いているとき、コイルを流れる電流の大きさを　\(I_1\)　[A]、電源電圧に対する電流の位相差を　\(θ_1\)　[°]　とする。

また、スイッチ S を閉じているとき、コイルを流れる電流の大きさを　\(I_2\)　[A]、電源電圧に対する電流の位相差を　\(θ_2\)　[°]　とする。

このとき、\(\cfrac{I_1}{I_2}\)　及び　\(|θ_1-θ_2|\)　[°]　の値として、正しいものを組み合わせたのは次のうちどれか。

抵抗 \(R\) とインダクタンス　\(L\)　のインピーダンスは　\(R+jωL\)　で表されます。

また、インピーダンスの大きさは　\(\sqrt{R^2+(ωL)^2}\)　になります。

■　スイッチ S が開いているとき
\(\dot{I_1}=\cfrac{\dot{E}}{R+jωL}\)　になります。

問題文で　\(R=\sqrt{3}ωL\)　[Ω]　となっていますので、これを上の式に代入して整理します。

\(\dot{I_1}=\cfrac{\dot{E}}{\sqrt{3}ωL+jωL}\)

\(=\cfrac{(\sqrt{3}ωL-jωL)\dot{E}}{(\sqrt{3}ωL+jωL)(\sqrt{3}ωL-jωL)}\)

\(=\cfrac{ωL(\sqrt{3}-j)\dot{E}}{4(ωL^2)}\)

\(\dot{I_1}=\left(\cfrac{\sqrt{3}}{4ωL}-j\cfrac{1}{4ωL} \right)\dot{E} \cdots(1)\)

電流　\(I_1\)　[A] の大きさは、次のようになります。
\(I_1=\cfrac{E}{\sqrt{(\sqrt{3}ωL)^2+(ωL)^2}}=\cfrac{E}{2ωL}\)

\(θ_1=tan^{-1}\left(\cfrac{ωL}{R}\right)=tan^{-1}\left(\cfrac{ωL}{\sqrt{3}ωL}\right)=tan^{-1}\left(\cfrac{1}{\sqrt{3}}\right)=30°\)(遅れ電流)

■　スイッチ S が閉じているとき
負荷はインダクタンスだけの回路になります。

電流の大きさ　\(\dot{I_2}\)　[A]　は、次のようになります。
\(\dot{I_2}=\cfrac{\dot{E}}{jωL} \cdots(2)\)

\(∴I_2=\cfrac{E}{ωL}\)

\(θ_2=tan^{-1}\left(\cfrac{ωL}{0}\right)=tan^{-1}∞=90°\)(遅れ電流)

したがって、電流の比は次のようになります。

\(\cfrac{I_1}{I_2}=\cfrac{\cfrac{E}{2ωL}}{\cfrac{E}{ωL}}=\cfrac{1}{2}\)

\(|θ_1-θ_2|\)　は　(|30°-90°|=60°\)

答えは　（2）　になります。

また、別解として

\(|θ_1-θ_2|\)　は　\(\dot{I_1}-\dot{I_2}\)　で表すことができる。

式(1)－式(2)で、共通の　\(\dot{E}\)　は省略すると、

\(\left(\cfrac{\sqrt{3}}{4ωL}-j\cfrac{1}{4ωL} \right)-\cfrac{\dot{E}}{jωL}=\cfrac{\sqrt{3}}{4ωL}+j\cfrac{3}{4ωL}\)

この関係を、ベクトルで表示すると

したがって、\(θ=60°\)　になります。

正解は（２）になります。