電験三種　H21年　理論　問1　問題と解説

問１

電極板面積と電極板間隔が共に　\(S\)　[m²]　と　\(d\)　[m]　で、一方は比誘電率が　\(ε_{r1}\)　の誘電体からなる平行平板コンデンサ　\(C_1\)　と、他方は比誘電率が　\(ε_{r2}\)　の誘電体からなる平行平板コンデンサ　\(C_2\)　がある。

いま、これらを図のように並列に接続し、端子A、B間に直流電圧　\(V_0\)　[V]　を加えた。

この時、コンデンサ　\(C_1\)　の電極板間の電界の強さを　\(E_1\)　[V/m]、電束密度を　\(D_1\)　[C/m²]、また、コンデンサ　\(C_2\)　の電極板間の電界の強さを　\(E_2\)　[V/m]、電束密度を　\(D_2\)　[C/m²]　とする。

両コンデンサの電界の強さ　\(E_1\)　[V/m]　と　\(E_2\)　[V/m]　はそれぞれ（ア）であり、電束密度　\(D_1 \)　[C/m²]　と　\(D_2\)　[C/m²]　はそれぞれ（イ）である。

したがって、コンデンサ　\(C_1\)　に蓄えられる電荷を　\(Q_1\)　[C]、コンデンサ　\(C_2\)　に蓄えられる電荷を　\(Q_2\)　[C]　とすると、それらはそれぞれ（ウ）となる。

ただし、電極板の厚さ及びコンデンサの端効果は、無視できるものとする。

また、真空の誘電率を　\(ε_0\)　[F/m]　とする。

上記の記述中の空白箇所（ア）、（イ）、（ウ）に当てはまる式として、正しいものを組み合わせたのは次のうちどれか。

（ア）
•　電界の強さを求める
電界の強さは電界の公式から
\(E=\cfrac{V}{d}\)　[V/m] なので、電界の強さ　\(E_1\)　と　\(E_2\) は次のようになります。

\(E_1=\cfrac{V_0}{d}\)

\(E_2=\cfrac{V_0}{d}\)

（イ）
•　電束密度を求める
電束密度の公式は
\(D=εE [C/m^2]\) で表されるので、電束密度　\(D_1\)　と　\(D_2\)　は次のように求められます。

\(D_1=ε_0ε_{r1}E_1=\cfrac{ε_0ε_{r1}}{d}V_0\)

\(D_2=ε_0ε_{r2}E_2=\cfrac{ε_0ε_{r2}}{d}V_0\)

（ウ）
•　電荷を求める
電束密度から電荷を求めることができます。
\(Q\)　[C]　の電荷からは　\(Q\)　本の電束が出ています。

電束密度は面積を　\(S\)　[m²]　とすると、\(D=\cfrac{Q}{S}\) で表すことができます。

この式を変形すると　\(Q=SD\)　となります。

したがって、コンデンサ　\(C_1\)　と　\(C_2\)　に蓄えられる電荷　\(Q_1\)　と　\(Q_2\)　は次のようになります。

\(Q_1=SD_1=\cfrac{ε_0ε_{r1}}{d}SV_0\)

\(Q_2=SD_2=\cfrac{ε_0ε_{r2}}{d}SV_0\)

正解は（４）になります。