鳳-テブナンの定理の証明

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鳳-テブナンの定理の証明


鳳-テブナンの定理は、どのように考えて作られたのでしょうか。
図1のような、回路の端子ab間に抵抗 $R[Ω]$ をつないだとき、流れた電流を $I$[A] とすると次のように表されます。
$I=\cfrac{V_i}{R_i+R} [A]$

 

 

 

証明

まず、回路の負荷抵抗 $R$ を切り離します。
回路網の複数の電源を一つにまとめた電源を $V_0$ とします。
同じように、複数の抵抗を一つにまとめた内部抵抗を $R_i$ とします。 
また、端子ab間の開放電圧を $V_i$ とします。
一般的に、 $V_0とV_i$ の値は異なります。

 

 

●端子電圧と同じ電圧の電池 $V_i$ を接続する
図3のように、ab間の端子電圧と同じ大きさの起電力を持つ電池を、ab端子に接続します。
そうすると、両方の電位差がなくなりますので、回路には電流 $I_E$ は流れません。

 

 

●抵抗 $R$ を接続する
回路に流れる電流 $I_E$ は0(ゼロ)なので、図4のように、回路に抵抗 $R$ を接続しても変化は起こりません。

 

 

●内部電源 $V_0=0$ にする
図4の回路の内部電源 $V_0$ を0(ゼロ)にすると、電池 $V_i$ から、図5のように、電流 $I_1$ が流れます。

 

 

●電池 $V_i=0$ にする
次に今度は、図4の回路の電池 $V_i$ を0(ゼロ)にすると、内部電源 $V_0$ により、図6のように、電流 $I_2$ が抵抗 $R$ に流れます。
この電流 $I_2$ は図1で流れた電流 $I$ と等しくなります。
図1の電流 $I$ は鳳-テブナンの定理で流れた電流になります。

 

 

●内部抵抗 $R_i$ を求める
この回路が持つ内部抵抗(合成抵抗)は $R_i$ ですから、図7の右の図の回路と等価になります。
したがって、電流 $I_1$ はオームの法則から
$I_1=\cfrac{V_i}{R_i+R} [A]$ になります。

 


ここで、$I_1=-I_2$ 、$I_2=I$ ですから、向きが違いますがそれぞれの大きさは等しくなります。
つまり、$I_1=I_2=I [A]$
したがって、
$I=\cfrac{V_i}{R_i+R}[A]$ になります。

 

この式は、図1の鳳-テブナンの定理の式と同じになります。

 

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