鳳-テブナンの定理の証明




スポンサーリンク



鳳-テブナンの定理の証明

鳳-テブナンの定理は、どのように考えて作られたのでしょうか。

図1のような、回路の端子ab 間に抵抗 \(R\) [Ω] をつないだとき、流れた電流を \(I\) [A] とすると次のように表されます。

\(I=\cfrac{V_i}{R_i+R}\) [A] 

証明

まず、回路の負荷抵抗 \(R\) を切り離します。

回路網の複数の電源を一つにまとめた電源を \(V_0\) とします。

同じように、複数の抵抗を一つにまとめた内部抵抗を \(R_i\) とします。 

また、端子ab 間の開放電圧を \(V_i\) とします。

一般的に、\(V_0\) と \(V_i\) の値は異なります。

●端子電圧と同じ電圧の電池 \(V_i\) を接続する

図3のように、ab 間の端子電圧と同じ大きさの起電力を持つ電池を、ab 端子に接続します。

そうすると、両方の電位差がなくなりますので、回路には電流 \(I_E\) は流れません。

●抵抗 \(R\) を接続する

回路に流れる電流 \(I_E\) は 0(ゼロ)なので、図4 のように、回路に抵抗 \(R\) を接続しても変化は起こりません。

●内部電源 \(V_0=0\) にする

図4 の回路の内部電源 \(V_0\) を 0(ゼロ)にすると、電池 \(V_i\) から、図5 のように、電流 \(I_1\) が流れます。

●電池 \(V_i=0\) にする

次に今度は、図4 の回路の電池 \(V_i\) を 0(ゼロ)にすると、内部電源 \(V_0\) により、図6 のように、電流 \(I_2\) が抵抗 \(R\) に流れます。

この電流 \(I_2\) は図1 で流れた電流 \(I\) と等しくなります。

図1 の電流 \(I\) は鳳-テブナンの定理で流れた電流になります。

●内部抵抗 \(R_i\) を求める

この回路が持つ内部抵抗(合成抵抗)は \(R_i\) ですから、図7 の右の図の回路と等価になります。

したがって、電流 \(I_1\) はオームの法則から

\(I_1=\cfrac{V_i}{R_i+R}\) [A] になります。

ここで、\(I_1=-I_2、I_2=I\) ですから、向きが違いますがそれぞれの大きさは等しくなります。

つまり、\(I_1=I_2=I\) [A]

したがって、

\(I=\cfrac{V_i}{R_i+R}\) [A] になります。

この式は、図1の鳳-テブナンの定理の式と同じになります。

以上で「鳳-テブナンの定理の証明」の説明を終わります。




スポンサーリンク